а) Какова область значений функции y = sinx – 1? б) Чему равны максимальное и минимальное значения функции на интервале

Artur

9

Давайте начнем с задачи а), где нам предлагается найти область значений функции \(y = \sin(x) - 1\).

Чтобы определить область значений функции, нам нужно найти все возможные значения, которые она может принимать.

Функция \(y = \sin(x)\) представляет собой синус угла \(x\), где \(x\) может быть любым числом. Синус угла - это отношение длины противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Теперь, чтобы найти область значений функции \(y = \sin(x) - 1\), мы просто вычитаем единицу из каждого значения синуса, получая результат.

Область значений функции \(y = \sin(x) - 1\) будет зависеть от области значений синуса, которая находится между -1 и 1. Когда мы вычитаем 1 из этого интервала, мы получаем область значений функции между -2 и 0.

Таким образом, область значений функции \(y = \sin(x) - 1\) является интервалом (-2, 0).

Теперь перейдем к задаче б), где мы должны найти максимальное и минимальное значения функции на интервале \((\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})\).

Для этого мы должны проанализировать функцию \(y = \sin(x) - 1\) и найти, где она будет достигать своих экстремальных значений на указанном интервале.

Максимальное и минимальное значения функции на указанном интервале будут являться её глобальными экстремумами, то есть самыми высокими и самыми низкими значениями на всем интервале.

Для поиска этих значений, мы можем начать с анализа частных производных функции \(y = \sin(x) - 1\).

Производная функции \(y = \sin(x) - 1\) равна \(\cos(x)\). Определим, когда производная равна нулю, чтобы найти места максимума и минимума функции.

\[ \cos(x) = 0 \]

Существует несколько значений \(x\), при которых \(\cos(x) = 0\). Мы знаем, что \(\cos(x) = 0\) тогда, когда \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) - целое число.

Теперь мы должны определить, какие значения \(x\) из интервала \((\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})\) удовлетворяют этому условию.

Если мы посмотрим на интервал \((\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})\), мы видим, что значение \(\frac{\pi}{2}\) не входит в этот интервал. Но значение \(\frac{3\pi}{2}\) входит в интервал. Таким образом, место, где производная равна нулю и функция может достичь экстремального значения - это \(x = \frac{3\pi}{2}\).

Now, let"s find the maximum and minimum values of the function on the given interval.

Мы можем найти максимальное и минимальное значение функции, подставив \(x = \frac{3\pi}{2}\) и \(x = \frac{\pi}{3}\) в функцию \(y = \sin(x) - 1\), соответственно.

1. Подставим \(x = \frac{3\pi}{2}\):

\[ y = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 1 = -1 - 1 = -2 \]

Таким образом, минимальное значение функции на интервале \((\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})\) равно -2.

2. Подставим \(x = \frac{\pi}{3}\):

\[ y = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \]

Вычислим эту разность:

\[ y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3} - 2}{2} \]

Таким образом, максимальное значение функции на интервале \((\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})\) равно \(\frac{\sqrt{3} - 2}{2}\).

Таким образом, мы нашли область значений функции \(y = \sin(x) - 1\) (интервал (-2, 0)) и максимальное и минимальное значения функции на интервале \((\frac{\pi}{3}, \frac{3\pi}{2})\) (-2 и \(\frac{\sqrt{3} - 2}{2}\) соответственно).