а) Какова область значений функции y = sinx – 1? б) Чему равны максимальное и минимальное значения функции на интервале

Artur

9

Давайте начнем с задачи а), где нам предлагается найти область значений функции $y=\sin (x)-1$.

Чтобы определить область значений функции, нам нужно найти все возможные значения, которые она может принимать.

Функция $y=\sin (x)$ представляет собой синус угла $x$, где $x$ может быть любым числом. Синус угла - это отношение длины противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Теперь, чтобы найти область значений функции $y=\sin (x)-1$, мы просто вычитаем единицу из каждого значения синуса, получая результат.

Область значений функции $y=\sin (x)-1$ будет зависеть от области значений синуса, которая находится между -1 и 1. Когда мы вычитаем 1 из этого интервала, мы получаем область значений функции между -2 и 0.

Таким образом, область значений функции $y=\sin (x)-1$ является интервалом (-2, 0).

Теперь перейдем к задаче б), где мы должны найти максимальное и минимальное значения функции на интервале $(\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$.

Для этого мы должны проанализировать функцию $y=\sin (x)-1$ и найти, где она будет достигать своих экстремальных значений на указанном интервале.

Максимальное и минимальное значения функции на указанном интервале будут являться её глобальными экстремумами, то есть самыми высокими и самыми низкими значениями на всем интервале.

Для поиска этих значений, мы можем начать с анализа частных производных функции $y=\sin (x)-1$.

Производная функции $y=\sin (x)-1$ равна $\cos (x)$. Определим, когда производная равна нулю, чтобы найти места максимума и минимума функции.

$$\cos (x)=0$$

Существует несколько значений $x$, при которых $\cos (x)=0$. Мы знаем, что $\cos (x)=0$ тогда, когда $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, где $n$ - целое число.

Теперь мы должны определить, какие значения $x$ из интервала $(\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$ удовлетворяют этому условию.

Если мы посмотрим на интервал $(\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$, мы видим, что значение $\frac{\pi }{2}$ не входит в этот интервал. Но значение $\frac{3\pi }{2}$ входит в интервал. Таким образом, место, где производная равна нулю и функция может достичь экстремального значения - это $x=\frac{3\pi }{2}$.

Now, let"s find the maximum and minimum values of the function on the given interval.

Мы можем найти максимальное и минимальное значение функции, подставив $x=\frac{3\pi }{2}$ и $x=\frac{\pi }{3}$ в функцию $y=\sin (x)-1$, соответственно.

1. Подставим $x=\frac{3\pi }{2}$:

$$y=\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)-1=-1-1=-2$$

Таким образом, минимальное значение функции на интервале $(\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$ равно -2.

2. Подставим $x=\frac{\pi }{3}$:

$$y=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)-1=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Вычислим эту разность:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{2}=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$$

Таким образом, максимальное значение функции на интервале $(\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$ равно $\frac{\sqrt{3}-2}{2}$.

Таким образом, мы нашли область значений функции $y=\sin (x)-1$ (интервал (-2, 0)) и максимальное и минимальное значения функции на интервале $(\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$ (-2 и $\frac{\sqrt{3}-2}{2}$ соответственно).