a) Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы с основанием длиной 8 см и углом 45° между

Skvoz_Tuman

28

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно.

а) Для начала давайте определим, что такое боковая поверхность призмы. Боковая поверхность призмы - это поверхность между основаниями. В данной задаче у нас четырехугольная призма, значит, у нее два основания - четырехугольники.

Теперь давайте построим четырехугольник, у которого сторона равна 8 см и угол между диагональю и плоскостью основания составляет 45°.

Чтобы найти площадь боковой поверхности этого четырехугольника, нам понадобится разделить его на два треугольника и прямоугольник.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S = a \times b\).

Теперь давайте рассчитаем площадь боковой поверхности призмы.

Сперва найдем площадь треугольника. У нас есть угол 45° и длина одной стороны равна 8 см. Так как это прямоугольный треугольник, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины второй стороны треугольника.

Определим катеты треугольника. Первый катет равен половине длины стороны основания, то есть \(8/2 = 4\) см, а второй катет равен длине стороны треугольника, также 8 см.

Применим теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\). Применяя теорему Пифагора, найдем длину диагонали треугольника, которая будет одной из сторон боковой поверхности призмы.

\(\sqrt{c^2} = \sqrt{4^2 + 8^2}\)

Вычисляя, получим

\(\sqrt{c^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} \approx 8,94\) см.

Найдем теперь площадь треугольника, используя формулу \(S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\theta)\).

\(S = \frac{1}{2} \times 4 \times 8 \times \sin(45°) = 16 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \sqrt{2}\) см².

Теперь найдем площадь прямоугольника, который является основанием боковой поверхности призмы. У нас одна из сторон прямоугольника равна 8 см, а другая сторона равна длине диагонали, которую мы рассчитали ранее и получили 8,94 см.

То есть площадь прямоугольника равна \(S = 8 \times 8,94 = 71,52\) см².

Чтобы получить площадь боковой поверхности призмы, нам нужно сложить площади треугольника и прямоугольника.

\(S_{\text{бок}} = S_{\text{треугольника}} + S_{\text{прямоугольника}} = 8 \sqrt{2} + 71,52 \approx 79,52\) см².

Ответ: площадь боковой поверхности данной призмы составляет около 79,52 см².

б) Теперь рассчитаем объем данной призмы. Объем призмы можно найти, умножив площадь основания на высоту призмы.

У нас основание призмы - это прямоугольник, стороны которого равны 8 см и 8,94 см. Значит, его площадь будет \(S_{\text{осн}} = 8 \times 8,94 = 71,52\) см².

Теперь найдем объем призмы, умножив площадь основания на высоту. Высоту призмы нам не дано, поэтому оставим ее в символьной форме \(h\).

\(V = S_{\text{осн}} \times h = 71,52 \times h\) см³.

Ответ: объем данной призмы равен \(71,52h\) см³.