а) Какова производная функции y=3x42? б) Какова производная функции y=−2? в) Какова производная функции y=−x4+5cos(x)?

Василиса

51

Хорошо, давайте посмотрим на каждую задачу по очереди и найдем их производные.

а) Функция y=3x^4 имеет вид монома, где показатель степени равен 4. Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования мономов, которое говорит, что производная монома равна произведению показателя степени на коэффициент при мономе, и затем показателя степени уменьшается на 1. Применяя это правило к нашей функции, получаем:

\[ \frac{d}{dx}(3x^4) = 4 \cdot 3x^{4-1} = 12x^3 \]

Таким образом, производная функции y=3x^4 равна 12x^3.

б) Функция y=-2 является константой, и производная константы всегда равна нулю. То есть, в данной задаче производная функции y=-2 равна нулю:

\[ \frac{d}{dx}(-2) = 0 \]

в) Функция y=-x^4+5cos(x) состоит из двух слагаемых: -x^4 и 5cos(x). Чтобы найти производную этой функции, мы должны взять производные каждого слагаемого отдельно, и затем их сложить:

Для первого слагаемого -x^4 мы можем использовать те же правила, что и в задаче (а):

\[ \frac{d}{dx}(-x^4) = -4 \cdot 1x^{4-1} = -4x^3 \]

Для второго слагаемого 5cos(x) мы можем использовать правило дифференцирования функции cos(x), которое говорит, что производная cos(x) равна -sin(x):

\[ \frac{d}{dx}(5cos(x)) = 5 \cdot -sin(x) = -5sin(x) \]

Теперь, сложим производные слагаемых:

\[ \frac{d}{dx}(-x^4+5cos(x)) = -4x^3 - 5sin(x) \]

Таким образом, производная функции y=-x^4+5cos(x) равна -4x^3 - 5sin(x).

г) Функция y=-3x^-4 включает в себя отрицательную степень. Для нахождения производной такой функции мы можем использовать правило дифференцирования функции x^n, где n является целым числом, отличным от нуля. Правило гласит, что производная функции x^n равна n * x^(n-1). Применяя это правило к нашей функции, получаем:

\[ \frac{d}{dx}(-3x^{-4}) = -4 \cdot -3x^{-4-1} = 12x^{-5} \]

Таким образом, производная функции y=-3x^-4 равна 12x^-5.

д) Функция y=10x является линейной функцией, и производная линейной функции равна коэффициенту при x. В этом случае, производная функции y=10x равна:

\[ \frac{d}{dx}(10x) = 10 \]

Таким образом, производная функции y=10x равна 10.

Я надеюсь, что эти подробные объяснения помогли вам понять, как найти производную данных функций