а) Каковы значения x, при которых уравнение cos2x+3sin(x-3П/2)+2=0? б) Что является корнями данного уравнения

Moroznyy_Polet

49

Хорошо, давайте посмотрим на данную задачу и решим ее пошагово для лучшего понимания.

а) Для начала, давайте рассмотрим уравнение \(\cos^2x + 3\sin(x-3\pi/2) + 2 = 0\) и найдем значения \(x\), при которых оно выполняется.

Первым шагом воспользуемся тригонометрическими идентичностями для приведения уравнения к более простому виду.

Обратимся к идентичности \(\sin(x-3\pi/2) = -\cos(x)\).

Заменим \(\sin(x-3\pi/2)\) на \(-\cos(x)\) в изначальном уравнении:

\(\cos^2x + 3(-\cos(x)) + 2 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\), которое мы можем решить.

Упростим уравнение:

\(\cos^2x - 3\cos(x) + 2 = 0\)

Факторизуем это уравнение:

\((\cos(x) - 1)(\cos(x) - 2) = 0\)

Получаем два уравнения:

\(\cos(x) - 1 = 0\) или \(\cos(x) - 2 = 0\)

\(x_1 = \arccos(1)\) или \(x_2 = \arccos(2)\)

Заметим, что значение \(\arccos(2)\) не определено в действительных числах, так как диапазон функции \(\arccos(x)\) ограничен от -1 до 1.

Поэтому, решение первого уравнения будет:

\(x_1 = \arccos(1)\)

\(x_1 = 0\)

Ответ: Значение \(x\), при котором \(\cos^2x+3\sin(x-3\pi/2)+2=0\), равно \(x = 0\).

б) Теперь рассмотрим корни уравнения в интервале \([- \pi/2, \pi]\).

Для этого найдем значения \(x\), которые удовлетворяют данному уравнению в указанном интервале.

Заметим, что в этом интервале \(\cos(x)\) может быть равен 0 и -1.

Подставим \(\cos(x) = 0\) в изначальное уравнение:

\(\cos^2x + 3\sin(x-3\pi/2) + 2 = 0\)

\((0)^2 + 3\sin(x-3\pi/2) + 2 = 0\)

\(3\sin(x-3\pi/2) + 2 = 0\)

\(\sin(x-3\pi/2) = -2/3\)

Теперь найдем значения \(x\) такие, что \(\sin(x-3\pi/2) = -2/3\).

Воспользуемся тригонометрическими идентичностями для решения уравнения:

\(\sin(x-3\pi/2) = \sin(x)\cos(3\pi/2) - \cos(x)\sin(3\pi/2)\)

Так как \(\cos(3\pi/2) = 0\) и \(\sin(3\pi/2) = -1\), получаем:

\(\sin(x) = 2/3\)

Теперь найдем значения \(x\) такие, что \(\sin(x) = 2/3\) в интервале \([- \pi/2, \pi]\).

Находим обратную функцию синуса:

\(x = \arcsin(2/3)\)

Используя калькулятор, получаем значение:

\(x \approx 0.7297\)

Таким образом, ответ для задачи б) будет:

Корни уравнения \(\cos^2x+3\sin(x-3\pi/2)+2=0\) в интервале \([- \pi/2, \pi]\) равны \(x \approx 0.7297\).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогли вам лучше понять, как прийти к ответам на данные вопросы.