а) Можно ли найти прямоугольник с периметром равным 8 и площадью равной 2? б) Можно ли найти прямоугольник с периметром

Elisey_7276

16

Давайте посмотрим на каждую задачу по отдельности:

а) Мы ищем прямоугольник с периметром равным 8 и площадью равной 2. Попробуем решить эту задачу.

Пусть стороны прямоугольника будут \(x\) и \(y\). Тогда периметр прямоугольника равен \(2x + 2y\), а площадь равна \(xy\).

У нас есть два уравнения: \(2x + 2y = 8\) и \(xy = 2\).

Давайте решим первое уравнение относительно \(y\):
\[2y = 8 - 2x\]
\[y = 4 - x\]

Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:
\[x(4 - x) = 2\]
\[4x - x^2 = 2\]
\[x^2 - 4x + 2 = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Решив его с помощью дискриминанта или графика, мы можем узнать, есть ли решения.

Вычислим дискриминант:
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня.

Вычислим корни уравнения:
\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}\]

Таким образом, мы получили два значения для \(x\): \(2 + \sqrt{2}\) и \(2 - \sqrt{2}\).

Подставим каждое значение \(x\) обратно в уравнение \(y = 4 - x\), чтобы найти соответствующие значения для \(y\):

Когда \(x = 2 + \sqrt{2}\):
\[y = 4 - (2 + \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}\]

Когда \(x = 2 - \sqrt{2}\):
\[y = 4 - (2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}\]

Таким образом, у нас есть две пары значений для сторон прямоугольника, которые удовлетворяют условию: \((2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})\) и \((2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})\). Это значит, что можно найти прямоугольник с периметром равным 8 и площадью равной 2.

б) Аналогично, решим вторую задачу. Мы ищем прямоугольник с периметром равным 14 и площадью равной \(x\).

Пусть стороны прямоугольника будут \(a\) и \(b\). Тогда периметр прямоугольника равен \(2a + 2b\), а площадь равна \(ab\).

У нас есть два уравнения: \(2a + 2b = 14\) и \(ab = x\).

Давайте решим первое уравнение относительно \(b\):
\[2b = 14 - 2a\]
\[b = 7 - a\]

Теперь подставим это значение \(b\) во второе уравнение:
\[a(7 - a) = x\]
\[7a - a^2 = x\]
\[a^2 - 7a + x = 0\]

Мы получили квадратное уравнение. Так как у нас нет конкретных чисел для площади (\(x\)), мы не можем решить это уравнение аналитически.

Но мы можем проанализировать задачу графически. Построим график уравнения \(a^2 - 7a + x = 0\) и посмотрим, в каких случаях он пересекает ось \(a\).

В результате анализа, мы видим, что периметр 14 и площадь \(x\) могут соответствовать различным комбинациям значений для \(a\) и \(b\), в зависимости от значения \(x\).

Таким образом, можно найти прямоугольникы с периметром равным 14 и площадью \(x\), но для каждого значения \(x\) будут разные значения для \(a\) и \(b\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать эти задачи!