а) Напишите уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой, равной 1. б) Напишите уравнение

Дмитриевич

7

Для решения задачи, нам понадобятся знания о производной функции и используем формулу для уравнения касательной. Перейдем к решению каждой части задачи по очереди.

а) Напишите уравнение касательной к графику функции \( y=2x^2-3 \) в точке с ординатой, равной 1.

Для начала, найдем производную функции \( y=2x^2-3 \). Производная функции покажет нам скорость изменения функции в каждой точке. Применим правило дифференцирования для степеней:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2-3) = 4x \]

Теперь, найдем значение производной в точке, которая имеет ординату равную 1. Для этого, подставим значение y = 1 в уравнение производной и решим его:

\[ 4x = 1 \]
\[ x = \frac{1}{4} \]

Таким образом, точка, в которой касательная пересекает график функции y=2x^2-3 с ординатой, равной 1, имеет координаты (1/4, 1).

Теперь, чтобы найти уравнение касательной, мы используем формулу:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

где (x_1, y_1) - координаты точки касания, а m - значение производной в этой точке.

Подставим известные значения:

\[ y - 1 = 4 \left( x - \frac{1}{4} \right) \]

Можно удобно записать это уравнение в виде:

\[ y - 1 = 4x - 1 \]

или

\[ y = 4x \]

б) Напишите уравнение касательной к графику функции \( y=2x^2-3 \) в точке с ординатой, равной \( -3 \).

Аналогично, нам нужно найти координаты точки касания и значение производной в этой точке.

Сначала найдем значение x:

\[ 2x^2-3 = -3 \]
\[ 2x^2 = 0 \]
\[ x = 0 \]

Таким образом, точка касания графика функции y=2x^2-3 с ординатой, равной -3, имеет координаты (0, -3).

Теперь найдем значение производной в этой точке:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^2-3) = 4x \]

подставим значение x = 0:

\[ 4(0) = 0 \]

Значение производной равно 0.

Следовательно, уравнение касательной в данной точке будет:

\[ y - (-3) = 0(x - 0) \]
\[ y + 3 = 0 \]
\[ y = -3 \]

Итак, уравнение касательной к графику функции y=2x^2-3 в точке с ординатой, равной -3, будет y = -3.