а) Найдите координаты центра окружности, через которую проходит прямая а, пересекающая окружность в точках (-7

Hrustal

70

Хорошо! Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

а) Чтобы найти координаты центра окружности, через которую проходит прямая а и которая пересекает окружность в точках (-7, 7) и (-1, -1), мы можем воспользоваться тем, что центр окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка, соединяющего данные точки пересечения.

Для начала, найдем середину данного отрезка.
Середину отрезка мы можем найти следующим образом:

$x_1=\frac{x_{\text{точки1}}+x_{\text{точки2}}}{2}$
$y_1=\frac{y_{\text{точки1}}+y_{\text{точки2}}}{2}$

где (x1, y1) - координаты середины отрезка.

Подставляя координаты точек (-7, 7) и (-1, -1), получаем:
$x_1=\frac{-7-1}{2}=-4$
$y_1=\frac{7-1}{2}=3$

Теперь мы знаем координаты середины отрезка, через которую проходит прямая а и центр окружности.

Теперь найдем уравнение прямой а.
Прямая задается уравнением вида:

$y=mx+c$

где m - угловой коэффициент прямой, а c - y-перехват прямой.

Мы знаем, что прямая проходит через точки (-7, 7) и (-1, -1).
Найдем угловой коэффициент m:

$m=\frac{y_{\text{точки2}}-y_{\text{точки1}}}{x_{\text{точки2}}-x_{\text{точки1}}}$

Подставляя значения координат, получаем:

$m=\frac{-1-7}{-1-(-7)}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}$

Теперь, зная угловой коэффициент, мы можем найти y-перехват c, подставив значения координат точки (-1, -1) в уравнение прямой:

$-1=-\frac{4}{3}\cdot (-1)+c$
$-1=\frac{4}{3}+c$
$c=-1-\frac{4}{3}$
$c=-\frac{7}{3}$

Таким образом, уравнение прямой а имеет вид: $y=-\frac{4}{3}\cdot x-\frac{7}{3}$.

Теперь перейдем к поиску координат центра окружности.

Перпендикулярная биссектриса отрезка, соединяющего точки пересечения прямой и окружности, будет проходить через координаты середины отрезка. Найдем уравнение этой биссектрисы.

Перпендикулярный угловой коэффициент прямой а равен отрицанию обратного значения углового коэффициента:

$m_{\text{перп}}=-\frac{1}{m}$
$m_{\text{перп}}=-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Теперь найдем y-перехват этой прямой. Подставим координаты середины отрезка (-4, 3) в уравнение прямой:

$3=\frac{3}{4}\cdot (-4)+c_{\text{перп}}$
$3=-3+c_{\text{перп}}$
$c_{\text{перп}}=3+3$
$c_{\text{перп}}=6$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через координаты середины отрезка и перпендикулярной прямой а, имеет вид: $y=\frac{3}{4}\cdot x+6$.

Координаты центра окружности будут точкой пересечения прямой а и перпендикулярной прямой.

Давайте найдем координаты точки пересечения путем решения системы уравнений прямых а и перпендикулярной прямой. Подставляя уравнения прямых, получаем:

$-\frac{4}{3}\cdot x-\frac{7}{3}=\frac{3}{4}\cdot x+6$

Перенесем члены с x в одну часть уравнения, а числовые члены в другую:

$-\frac{4}{3}\cdot x-\frac{3}{4}\cdot x=6+\frac{7}{3}$

Раскроем скобки:

$-\frac{16}{12}\cdot x-\frac{9}{12}\cdot x=\frac{36}{6}+\frac{7}{3}$

Сделаем общий знаменатель:

$-\frac{16x}{12}-\frac{9x}{12}=\frac{216}{36}+\frac{28}{12}$

Сократим дроби:

$-\frac{25x}{12}=\frac{244}{12}$

Выразим x:

$x=\frac{244}{-25}$

Подставим значение x в уравнение прямой для нахождения y:

$y=\frac{3}{4}\cdot \frac{244}{-25}+6$

$y=-\frac{183}{25}+6$

$y=\frac{117}{25}$

Таким образом, координаты центра окружности равны (-\frac {244} {25}, \frac {117} {25}).

б) Теперь найдем длину радиуса этой окружности. Радиус окружности можно найти, используя расстояние между центром окружности и одной из точек пересечения прямой с окружностью.

Расстояние между двумя точками можно вычислить с помощью формулы расстояния:

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Выберем точку (-7, 7) в качестве одной из точек пересечения:

$d=\sqrt{(-\frac{244}{25}-(-7){)}^2+(\frac{117}{25}-7{)}^2}$

$d=\sqrt{(\frac{244}{25}+7{)}^2+(\frac{117}{25}-\frac{175}{25}{)}^2}$

$d=\sqrt{(\frac{244+175}{25}{)}^2+(\frac{117-175}{25}{)}^2}$

$d=\sqrt{(\frac{419}{25}{)}^2+(\frac{-58}{25}{)}^2}$

$d=\sqrt{\frac{175561}{625}+\frac{3364}{625}}$

$d=\sqrt{\frac{178925}{625}}$

$d=\frac{\sqrt{178925}}{\sqrt{625}}$

$d=\frac{425}{25}$

$d=17$

Таким образом, длина радиуса окружности равна 17.

в) Теперь запишем уравнение окружности и прямой.

Уравнение окружности в общем виде имеет вид:

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$,

где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Подставляя известные значения, получаем:

$(x+\frac{244}{25}{)}^2+(y-\frac{117}{25}{)}^2={17}^2$,

это уравнение окружности, проходящей через точки (-7, 7) и (-1, -1), с центром в точке (-\frac {244} {25}, \frac {117} {25}) и радиусом 17.

Уравнение прямой имеет вид: $y=-\frac{4}{3}\cdot x-\frac{7}{3}$,

это уравнение прямой, проходящей через точки (-7, 7) и (-1, -1).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам разобраться в задаче. Удачи вам!