а) Найдите координаты центра окружности, через которую проходит прямая а, пересекающая окружность в точках (-7

Hrustal

70

Хорошо! Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

а) Чтобы найти координаты центра окружности, через которую проходит прямая а и которая пересекает окружность в точках (-7, 7) и (-1, -1), мы можем воспользоваться тем, что центр окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе отрезка, соединяющего данные точки пересечения.

Для начала, найдем середину данного отрезка.
Середину отрезка мы можем найти следующим образом:

\( x_1 = \frac {x_{\text{точки1}} + x_{\text{точки2}}} {2} \)
\( y_1 = \frac {y_{\text{точки1}} + y_{\text{точки2}}} {2} \)

где (x1, y1) - координаты середины отрезка.

Подставляя координаты точек (-7, 7) и (-1, -1), получаем:
\( x_1 = \frac {-7 - 1} {2} = -4 \)
\( y_1 = \frac {7 - 1} {2} = 3 \)

Теперь мы знаем координаты середины отрезка, через которую проходит прямая а и центр окружности.

Теперь найдем уравнение прямой а.
Прямая задается уравнением вида:

\( y = mx + c \)

где m - угловой коэффициент прямой, а c - y-перехват прямой.

Мы знаем, что прямая проходит через точки (-7, 7) и (-1, -1).
Найдем угловой коэффициент m:

\( m = \frac {y_{\text{точки2}} - y_{\text{точки1}}} {x_{\text{точки2}} - x_{\text{точки1}}} \)

Подставляя значения координат, получаем:

\( m = \frac {-1 - 7} {-1 - (-7)} = \frac {-8} {6} = -\frac {4} {3} \)

Теперь, зная угловой коэффициент, мы можем найти y-перехват c, подставив значения координат точки (-1, -1) в уравнение прямой:

\( -1 = -\frac {4} {3} \cdot (-1) + c \)
\( -1 = \frac {4} {3} + c \)
\( c = -1 - \frac {4} {3} \)
\( c = -\frac {7} {3} \)

Таким образом, уравнение прямой а имеет вид: \( y = -\frac {4} {3} \cdot x - \frac {7} {3} \).

Теперь перейдем к поиску координат центра окружности.

Перпендикулярная биссектриса отрезка, соединяющего точки пересечения прямой и окружности, будет проходить через координаты середины отрезка. Найдем уравнение этой биссектрисы.

Перпендикулярный угловой коэффициент прямой а равен отрицанию обратного значения углового коэффициента:

\( m_{\text{перп}} = -\frac {1} {m} \)
\( m_{\text{перп}} = -\frac {1} {-\frac {4} {3}} = \frac {3} {4} \)

Теперь найдем y-перехват этой прямой. Подставим координаты середины отрезка (-4, 3) в уравнение прямой:

\( 3 = \frac {3} {4} \cdot (-4) + c_{\text{перп}} \)
\( 3 = -3 + c_{\text{перп}} \)
\( c_{\text{перп}} = 3 + 3 \)
\( c_{\text{перп}} = 6 \)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через координаты середины отрезка и перпендикулярной прямой а, имеет вид: \( y = \frac {3} {4} \cdot x + 6 \).

Координаты центра окружности будут точкой пересечения прямой а и перпендикулярной прямой.

Давайте найдем координаты точки пересечения путем решения системы уравнений прямых а и перпендикулярной прямой. Подставляя уравнения прямых, получаем:

\( -\frac {4} {3} \cdot x - \frac {7} {3} = \frac {3} {4} \cdot x + 6 \)

Перенесем члены с x в одну часть уравнения, а числовые члены в другую:

\( -\frac {4} {3} \cdot x - \frac {3} {4} \cdot x = 6 + \frac {7} {3} \)

Раскроем скобки:

\( -\frac {16} {12} \cdot x - \frac {9} {12} \cdot x = \frac {36} {6} + \frac {7} {3} \)

Сделаем общий знаменатель:

\( -\frac {16x} {12} - \frac {9x} {12} = \frac {216} {36} + \frac {28} {12} \)

Сократим дроби:

\( -\frac {25x} {12} = \frac {244} {12} \)

Выразим x:

\( x = \frac {244} {-25} \)

Подставим значение x в уравнение прямой для нахождения y:

\( y = \frac {3} {4} \cdot \frac {244} {-25} + 6 \)

\( y = - \frac {183} {25} + 6 \)

\( y = \frac {117} {25} \)

Таким образом, координаты центра окружности равны (-\frac {244} {25}, \frac {117} {25}).

б) Теперь найдем длину радиуса этой окружности. Радиус окружности можно найти, используя расстояние между центром окружности и одной из точек пересечения прямой с окружностью.

Расстояние между двумя точками можно вычислить с помощью формулы расстояния:

\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Выберем точку (-7, 7) в качестве одной из точек пересечения:

\( d = \sqrt{(-\frac {244} {25} - (-7))^2 + (\frac {117} {25} - 7)^2} \)

\( d = \sqrt{(\frac {244} {25} + 7)^2 + (\frac {117} {25} - \frac {175} {25})^2} \)

\( d = \sqrt{(\frac {244 + 175} {25})^2 + (\frac {117 - 175} {25})^2} \)

\( d = \sqrt{(\frac {419} {25})^2 + (\frac {-58} {25})^2} \)

\( d = \sqrt{\frac {175561} {625} + \frac {3364} {625}} \)

\( d = \sqrt{\frac {178925} {625}} \)

\( d = \frac {\sqrt{178925}} {\sqrt{625}} \)

\( d = \frac {425} {25} \)

\( d = 17 \)

Таким образом, длина радиуса окружности равна 17.

в) Теперь запишем уравнение окружности и прямой.

Уравнение окружности в общем виде имеет вид:

\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \),

где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Подставляя известные значения, получаем:

\( (x + \frac {244} {25})^2 + (y - \frac {117} {25})^2 = 17^2 \),

это уравнение окружности, проходящей через точки (-7, 7) и (-1, -1), с центром в точке (-\frac {244} {25}, \frac {117} {25}) и радиусом 17.

Уравнение прямой имеет вид: \( y = -\frac {4} {3} \cdot x - \frac {7} {3} \),

это уравнение прямой, проходящей через точки (-7, 7) и (-1, -1).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам разобраться в задаче. Удачи вам!