Яка площа прямокутника, якщо одна його сторона дорівнює 8 см і утворює з діагоналлю кут 30°?

Kira

68

Чтобы найти площадь прямоугольника, нам необходимо знать значения его сторон. Мы знаем, что одна сторона прямоугольника равна 8 см. Диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного этой диагональю и двумя сторонами прямоугольника.

Мы знаем, что угол между стороной прямоугольника и его диагональю равен 30°. Так как мы знаем длину стороны прямоугольника и угол между стороной и диагональю, мы можем найти длину диагонали при помощи тригонометрической функции косинуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один из углов равен 30°, а сторона против лежит нашей стороне прямоугольника длиной 8 см. Обозначим длину диагонали за \(d\). Тогда, при помощи косинуса, имеем:

\[\cos(30°) = \frac{\text{{прилежащ}}}{\text{{гипотенуза}}} = \frac{8}{d}\]

Чтобы найти длину гипотенузы, перейдем в формулу:

\[d = \frac{8}{\cos(30°)}\]

Применим тригонометрическое тождество \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), заменим значение и найдем длину диагонали:

\[d = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\]

Теперь, когда у нас есть значения обоих сторон прямоугольника (8 см и \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\) см), мы можем найти его площадь (она вычисляется как произведение длин двух сторон):

\[Площадь = 8 см \cdot \frac{16\sqrt{3}}{3} см = \frac{128\sqrt{3}}{3} см^2\]

Таким образом, площадь данного прямоугольника равна \(\frac{128\sqrt{3}}{3} см^2\).