а) Найдите множество всех первообразных для функции f(x)=3sin x. б) Найдите первообразную функции, график которой

Зинаида

48

Хорошо, давайте начнем с задачи а.

Для нахождения множества всех первообразных функции \(f(x) = 3\sin(x)\) мы должны найти функцию \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\). В данном случае, нужно найти функцию \(F(x)\), производная которой равна \(3\sin(x)\).

Для решения этой задачи, мы можем использовать факт, что производная функции \(\sin(x)\) равна \(\cos(x)\) и применить правило взятия производной для произведения функций.

Таким образом, мы можем предположить, что \(F(x) = 3\cos(x) + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь давайте проверим, действительно ли производная функции \(F(x)\) равна \(3\sin(x)\):

\[
F"(x) = \frac{d}{dx}(3\cos(x) + C)
= 3 \frac{d}{dx}(\cos(x)) + \frac{d}{dx}(C)
= 3 (-\sin(x)) + 0
= -3\sin(x)
\]

Как видно из вышеуказанного, производная функции \(F(x)\) действительно равна \(3\sin(x)\). Таким образом, наше предположение о том, что \(F(x) = 3\cos(x) + C\) является верным.

Множество всех первообразных для функции \(f(x) = 3\sin(x)\) - это множество функций вида \(F(x) = 3\cos(x) + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь перейдем к задаче б.

Нам нужно найти первообразную функции, график которой проходит через точку \(M(\frac{\pi}{2}, 0)\).

Для этого мы можем использовать результат из задачи а) и подставить значение \(\frac{\pi}{2}\) в точку \(M\) в нашу функцию первообразной.

Таким образом, мы можем записать \(0 = 3\cos(\frac{\pi}{2}) + C\) и решить эту уравнение относительно \(C\).

\[
3\cos(\frac{\pi}{2}) + C = 0
3 \cdot 0 + C = 0
C = 0
\]

Получили, что значение постоянной \(C\) равно \(0\).

Таким образом, первообразная функции, график которой проходит через точку \(M(\frac{\pi}{2}, 0)\), будет иметь вид \(F(x) = 3\cos(x)\).