а) Найдите первообразную функции, которая проходит через точку M(-2,10), если f(x) = 3x² - 8x³ + 5. б) Найдите

Золотой_Вихрь

26

Хорошо, давайте решим задачи последовательно.

а) Чтобы найти первообразную функции \(f(x) = 3x^2 - 8x^3 + 5\), мы используем метод интегрирования. Для начала, найдем первообразную каждого слагаемого отдельно.

Первообразная функции \(3x^2\) равна \(\frac{1}{3}x^3\).

Первообразная функции \(-8x^3\) равна \(-\frac{4}{2}x^4 = -2x^4\).

Первообразная константы 5 равна \(5x\).

Теперь, чтобы найти первообразную функции \(f(x)\), найденной суммой первообразных слагаемых, получается:

\[\int f(x) dx = \int (3x^2 - 8x^3 + 5) dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^4 + 5x + C, \]

где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования.

Так как известно, что функция проходит через точку \(M(-2,10)\), мы можем использовать эту информацию, чтобы найти конкретное значение постоянной \(C\). Подставим координаты точки в функцию и решим уравнение:

\[10 = \frac{1}{3}(-2)^3 - 2(-2)^4 + 5(-2) + C.\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[10 = \frac{1}{3}(-8) - 2(16) - 10 + C.\]

\[10 = -\frac{8}{3} - 32 - 10 + C.\]

\[10 = -\frac{8}{3} - \frac{96}{3} - \frac{30}{3} + C.\]

\[10 = -\frac{8 + 96 + 30}{3} + C.\]

\[10 = -\frac{134}{3} + C.\]

Теперь найдем значение \(C\):

\[C = 10 + \frac{134}{3} = \frac{300 + 134}{3} = \frac{434}{3}.\]

Итак, первообразная функции \(f(x) = 3x^2 - 8x^3 + 5\), проходящая через точку \(M(-2,10)\), равна:

\[\int f(x) dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^4 + 5x + \frac{434}{3}.\]

б) Теперь решим задачу нахождения первообразной функции \(f(x) = -8\cos(x)\).

Используя таблицы интегралов, мы можем найти, что первообразная функции \(\cos(x)\) равна \(\sin(x)\).

Теперь, чтобы найти первообразную функции \(f(x)\), мы умножаем первообразную слагаемого на коэффициент:

\[\int f(x) dx = -8\int \cos(x) dx = -8\sin(x) + C,\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Итак, первообразная функции \(f(x) = -8\cos(x)\) равна:

\[\int f(x) dx = -8\sin(x) + C.\]

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спросите.