А) Найдите решение уравнения (sin2x-sinx)(sqrt(2) + sqrt(-2ctgx))=0. б) Определите значения x, при которых

Ян_7480

58

Хорошо, давайте решим это уравнение пошагово.

а) Нам дано уравнение \((\sin{2x}-\sin{x})(\sqrt{2} + \sqrt{-2\cot{x}}) = 0\). Чтобы найти его решение, нам нужно разобраться с каждым множителем, чтобы понять, когда они оба равны нулю.

Первый множитель \(\sin{2x} - \sin{x}\) является разностью синусов и может быть упрощен с помощью формулы для разности синусов. Воспользуемся этой формулой:

\[\sin{2x} - \sin{x} = 2\sin{x}\cos{x} - \sin{x} = \sin{x}(2\cos{x} - 1).\]

Теперь у нас есть \((2\cos{x} - 1)\sin{x}(\sqrt{2} + \sqrt{-2\cot{x}}) = 0\).

Второй множитель \(\sqrt{2} + \sqrt{-2\cot{x}}\) имеет два слагаемых. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности:

Первое слагаемое \(\sqrt{2}\) не зависит от \(x\) и всегда равно положительной константе \(\sqrt{2}\).

Второе слагаемое \(\sqrt{-2\cot{x}}\) содержит функцию котангенса \(\cot{x}\). Чтобы определить его знак и вычислить его значение, нам нужно знать значения \(x\).

б) Теперь рассмотрим интервал \([ \frac{\pi}{2}, x]\), чтобы найти значения \(x\), при которых уравнение имеет корни.

Учтем, что первое слагаемое \(\sqrt{2}\) всегда положительно.

Для второго слагаемого \(\sqrt{-2\cot{x}}\) рассмотрим два случая:

1) Если \(\cot{x} < 0\), тогда \(-2\cot{x} > 0\).
В этом случае \(\sqrt{-2\cot{x}}\) является мнимым числом и не может быть равным нулю.
Таким образом, оно не может влиять на решение уравнения.

2) Если \(\cot{x} = 0\), тогда у нас есть \(\sqrt{-2\cdot 0} = 0\).
В этом случае \(\sqrt{-2\cot{x}}\) равно нулю.

Таким образом, чтобы уравнение имело решение в интервале \([\frac{\pi}{2}, x]\), необходимо и достаточно, чтобы выполнилось одно из следующих условий:
a) \(\sin{x} = 0\), что возможно при \(x = \pi \cdot k\), где \(k\) - целое число.
b) \(\cos{x} = \frac{1}{2}\), что возможно при \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k\) или \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot k\), где \(k\) - целое число.

Итак, решения уравнения на заданном интервале \([ \frac{\pi}{2}, x]\):
1) \(x = \pi \cdot k\), где \(k\) - целое число.
2) \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot k\) или \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot k\), где \(k\) - целое число.

Надеюсь, это разъясняет решение и дает вам полное понимание данной задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.