а) Найдите все значения x, при которых выполняется условие sinx+sqrt((3/2)(1-cosx)=0. б) Найдите все корни уравнения

Skrytyy_Tigr_830

49

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

а) Чтобы найти все значения x, при которых выполняется условие sinx + \(\sqrt{\frac{3}{2}(1-\cos{x})} = 0\), нам нужно найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению.

Начнем с уравнения: sinx + \(\sqrt{\frac{3}{2}(1-\cos{x})} = 0\).

Выразим \(\sqrt{\frac{3}{2}(1-\cos{x})}\) в отдельную часть уравнения: \(\sqrt{\frac{3}{2}(1-\cos{x})} = -sinx\).

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат: \(\frac{3}{2}(1-\cos{x}) = sin^2{x}\).

Раскроем квадрат на правой стороне уравнения: \(\frac{3}{2}(1-\cos{x}) = 1-cos^2{x}\).

Упростим уравнение: \(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos{x} = 1-\cos^2{x}\).

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: \(\cos^2{x} - \frac{3}{2}\cos{x} - \frac{1}{2} = 0\).

Факторизуем полученное квадратное уравнение: \((\cos{x} - 2)(\cos{x} + \frac{1}{2}) = 0\).

Разделим уравнение на два отдельных уравнения:
1) \(\cos{x} - 2 = 0\) и 2) \(\cos{x} + \frac{1}{2} = 0\).

Решим первое уравнения: \(\cos{x} - 2 = 0\). Приравняем \(\cos{x}\) к 2: \(\cos{x} = 2\).

Однако, здесь мы сталкиваемся с проблемой, так как косинус не может превышать значения [-1, 1]. Поэтому, уравнение \(\cos{x} = 2\) не имеет решений.

Теперь решим второе уравнение: \(\cos{x} + \frac{1}{2} = 0\). Приравняем \(\cos{x}\) к \(-\frac{1}{2}\): \(\cos{x} = -\frac{1}{2}\).

Найдем все значения x, при которых выполняется это уравнение. Для этого проанализируем значния косинуса в стандартных углах. Стандартные углы, для которых косинус равен \(-\frac{1}{2}\), это \(120^\circ\) и \(240^\circ\). Мы можем выразить эти значения в радианах, поскольку нам дано условие в радианах.

В радианах, \(120^\circ\) = \(\frac{2\pi}{3}\) и \(240^\circ\) = \(\frac{4\pi}{3}\).

Поэтому, значения x, при которых выполняется условие уравнения, равны: \(x = \frac{2\pi}{3}\) и \(x = \frac{4\pi}{3}\).

Общий ответ: значение x, при которых выполняется условие, равно \(x = \frac{2\pi}{3}\) и \(x = \frac{4\pi}{3}\).

б) Чтобы найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-13\pi/2, 0]\), мы должны проверить значения x в этом диапазоне и найти корни уравнения.

Первое, что мы можем отметить, это то, что уравнение содержит тригонометрическую функцию \(sin{x}\). Значения \(sin{x}\) находятся в интервале [-1, 1].

Также, у нас есть уравнение \(sin{x} + \sqrt{\frac{3}{2}(1-\cos{x})} = 0\).

Поскольку \(sin{x}\) имеет значения в интервале [-1, 1], то второе слагаемое \(\sqrt{\frac{3}{2}(1-\cos{x})}\) должно быть равно 0, чтобы общая сумма была равна 0.

Это означает, что \(\frac{3}{2}(1-\cos{x}) = 0\).

Уравнение будет выполняться, когда \(\cos{x} = 1\), так как это приведет к \(\frac{3}{2}(1-1) = 0\).

Значение \(cos{x}\) равно 1, когда x равно 0.

Поэтому, корень уравнения \(\cos{x} = 1\) и корень уравнения \(sin{x} + \sqrt{\frac{3}{2}(1-\cos{x})} = 0\) на отрезке \([-13\pi/2, 0]\) равен \(x = 0\).

Общий ответ: Корень уравнения равен \(x = 0\).