а) Найдите значение одночлена, которое позволит данные равенства стать тождествами: (2x+A) (4х² - 2xA + A²)

Золотая_Завеса

47

a) Для нахождения значения одночлена, которое позволит данным равенствам стать тождествами, нам нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) и решить полученные уравнения.

В данном случае, у нас есть равенство:

\[(2x+A) (4x^2 - 2xA + A^2) = 8x^3 + 27y^3\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[8x^3 - 4x^2A + 2Ax^2 - 4Ax^2 + 2A^2x - A^2x + 2Ax - A^2 = 8x^3 + 27y^3\]

Теперь сгруппируем слагаемые:

\[(8x^3 - 4x^2A + 2Ax^2) + (-4Ax^2 + 2A^2x - A^2x + 2Ax - A^2) = 8x^3 + 27y^3\]

Суммируя коэффициенты при одинаковых степенях \(x\), получим:

\[8x^3 - 4x^2A + 2Ax^2 - 4Ax^2 + 2A^2x - A^2x + 2Ax - A^2 = 8x^3 + 27y^3\]

Для того чтобы равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) должны быть равными. Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

\[-4A = 0\]
\[2A - 4 = 0\]
\[2A - A^2 = 0\]
\[A^2 + A - 4 = 0\]

Решим эту систему уравнений.

Найдем значение \(A\) из первого уравнения:
\(-4A = 0\)

Делим обе части на -4:
\(A = 0\)

Подставим это значение второго уравнения:
\(2A - 4 = 0\)

Подставим значение \(A = 0\):
\(2 \cdot 0 - 4 = 0\)

Уравнение выполняется, значит, полученное значение \(A = 0\) является решением этой системы.

Ответ: Значение одночлена \(A\), которое позволит данным равенствам стать тождествами, равно \(A = 0\).

b) Чтобы определить, какое значение нужно присвоить \(A\), чтобы равенство \((-A - 3c)(A^2)\) стало тождеством, нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(A\) и решить полученные уравнения.

У нас есть равенство:
\((-A - 3c)(A^2) = ?\)

Раскроем скобки:
\(-A \cdot A^2 - 3c \cdot A^2 = -A^3 - 3c \cdot A^2\)

Теперь мы должны приравнять это выражение к нулю, так как равенство должно быть тождеством:
\(-A^3 - 3c \cdot A^2 = 0\)

Мы можем вынести \(A^2\) за скобки и решить полученное уравнение:
\(A^2(-A - 3c) = 0\)

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что или \(A^2 = 0\), или \((-A - 3c) = 0\). Решим эти два уравнения по отдельности.

1) \(A^2 = 0\)

Корень этого уравнения — \(A = 0\).

2) \((-A - 3c) = 0\)

При переносе \(-A\) на другую сторону получим:
\(-A = 3c\)

Умножим обе части на -1:
\(A = -3c\)

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(A\), которые приведут к тождественному равенству: \(A = 0\) и \(A = -3c\).

Ответ: Чтобы равенство \((-A - 3c)(A^2)\) стало тождеством, значение \(А\) должно быть либо равно \(А = 0\), либо \(А = -3с\).