Каково соотношение диагоналей ромба на государственном флаге Бразилии?

Владимир

16

На государственном флаге Бразилии изображен ромб, и вы хотите узнать, каково соотношение его диагоналей. Для этого нам понадобятся некоторые знания о ромбе.

Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны. Также известно, что диагонали ромба делятся друг на друга под прямым углом, то есть они взаимно перпендикулярны.

Обозначим диагонали ромба как \(d_1\) и \(d_2\), а соответствующие им отрезки как \(x\) и \(y\). Следуя общим свойствам ромба, \(d_1\) и \(d_2\) перпендикулярны и каждая диагональ разбивает ромб на два равнобедренных треугольника.

Давайте воспользуемся этими свойствами для вывода формулы, которая позволит нам найти соотношение диагоналей ромба на флаге Бразилии.

Рассмотрим правильный квадрат \(ABCD\), который можно вписать в ромб с диагоналями \(d_1\) и \(d_2\). Флаг Бразилии имеет эмблему на красном кольце, и она вписана в этот квадрат.

Таким образом, внутри этого квадрата имеется четыре маленьких треугольника, каждый из которых является прямоугольным и равнобедренным. Высота каждого из этих треугольников равна половине длины диагонали (половине \(d_1\) или половине \(d_2\)), а основание обозначим как \(x\) или \(y\).

Теперь давайте рассмотрим один из этих четырех треугольников более подробно. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами \(x\) и \(y\) и гипотенузой \(d_1\) или \(d_2\) выполнено следующее соотношение:

\[d_1^2 = x^2 + (\frac{y}{2})^2\]

или

\[d_2^2 = (\frac{x}{2})^2 + y^2\]

Теперь, решив эти уравнения, можно получить формулы для \(x\) и \(y\) в зависимости от \(d_1\) и \(d_2\). Предлагаю решить уравнения для \(x\) и \(y\) с использованием первого уравнения, полученного выше.

\[d_1^2 = x^2 + (\frac{y}{2})^2\]

\[x^2 = d_1^2 - (\frac{y}{2})^2\]

\[x = \sqrt{d_1^2 - \frac{y^2}{4}}\]

Теперь, чтобы найти значение \(\frac{x}{y}\), мы подставляем вычисленное значение \(x\) в уравнение для \(y\).

\[d_2^2 = (\frac{x}{2})^2 + y^2\]

\[(\frac{x}{2})^2 = d_2^2 - y^2\]

\[(\frac{d_1^2 - \frac{y^2}{4}}{2})^2 = d_2^2 - y^2\]

\[d_1^2 - \frac{y^2}{4} = 4(d_2^2 - y^2)\]

\[4d_1^2 - y^2 = 16d_2^2 - 4y^2\]

\(3y^2 = 12d_2^2 - 4d_1^2\)

\(y^2 = \frac{12}{3}(d_2^2 - d_1^2) = 4(d_2^2 - d_1^2)\)

\(y = 2 \sqrt{d_2^2 - d_1^2}\)

Теперь можно найти значение \(\frac{d_1}{d_2}\), подставив вычисленное значение \(y\) в изначальное уравнение.

\(\frac{d_1}{d_2} = \frac{x}{2 \sqrt{d_2^2 - d_1^2}}\)

\(\frac{d_1}{d_2} = \frac{\sqrt{d_1^2 - \frac{y^2}{4}}}{2 \sqrt{d_2^2 - d_1^2}}\)

\(\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}\)

Благодаря этим вычислениям мы получили, что соотношение диагоналей ромба на государственном флаге Бразилии составляет \(\frac{1}{2}\). Можно заметить, что диагональ \(d_1\) в два раза меньше, чем диагональ \(d_2\), что делает это соотношение понятным и легким для запоминания.