а) Найти первообразную функции, проходящей через точку м(3; 15), заданной уравнением f(x) = 4x^3 - 10x -9. б) Найти

Луна

22

Для решения данной задачи нам необходимо найти первообразную функции, проходящей через заданную точку и заданную уравнением. Чтобы найти первообразную, мы будем использовать процесс интегрирования.

а) Данная функция f(x) = 4x^3 - 10x - 9 имеет степенную форму. Для нахождения первообразной, мы будем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Используя правило степенной функции, интегрируем каждый слагаемый отдельно.
Интеграл от 4x^3 dx равен \(\int 4x^3 dx = \frac{4}{4}x^4 + C_1 = x^4 + C_1\), где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Интеграл от -10x dx равен \(\int -10x dx = -5x^2 + C_2\), где \(C_2\) - постоянная интегрирования.

Интеграл от -9 dx равен \(\int -9 dx = -9x + C_3\), где \(C_3\) - постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть частные интегралы каждого слагаемого функции.

Шаг 2: Суммируем все интегралы и добавляем постоянные интегрирования.
Итак, первообразная функции f(x) равна: \(F(x) = x^4 - 5x^2 - 9x + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования.

Шаг 3: Найдем значение постоянной интегрирования, используя заданную точку м(3; 15).
Подставим значения координат точки в уравнение первообразной функции и решим уравнение для \(C\).
15 = (3)^4 - 5(3)^2 - 9(3) + C
15 = 81 - 45 - 27 + C
15 = 9 + C
C = 6

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку м(3; 15), имеет вид:
\(F(x) = x^4 - 5x^2 - 9x + 6\)

б) Данная функция f(x) = 6/cos^2x также имеет степенную форму, но с тригонометрической функцией. Чтобы найти первообразную, мы будем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Заменим cos^2x на его эквивалентную форму 1 / sec^2x.
Теперь у нас есть функция f(x) = 6 * sec^2x.

Шаг 2: Используем правило тригонометрической функции для интегрирования.
Интеграл от sec^2x dx равен \(\int sec^2x dx = tanx + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования.

Шаг 3: Найдем значение постоянной интегрирования, используя заданную точку м(\(\pi/4\); -7).
Подставим значения координат точки в уравнение первообразной функции и решим уравнение для \(C\).
-7 = tan(\(\pi/4\)) + C
-7 = 1 + C
C = -8

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку м(\(\pi/4\); -7), имеет вид:
\(F(x) = tanx - 8\)

Это подробное решение позволяет школьнику понять каждый шаг и получить правильный ответ.