Чему равна производная функции z=x6y2 в точке N(2–√;32–√) по направлению биссектрисы первого квадранта?

Летучий_Волк

51

Для нахождения производной функции \(z = x^6y^2\) в точке \(N(2-\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\) по направлению биссектрисы первого квадранта, мы должны использовать формулу производной по направлению:

\[D_{\vec{v}}f(a,b) = \nabla f(a,b) \cdot \frac{\vec{v}}{\lVert \vec{v} \rVert}\]

Где \(\nabla f(a,b)\) - градиент функции \(f(x,y)\) в точке \((a,b)\), а \(\vec{v}\) - вектор направления.

Для начала найдем градиент функции \(z = x^6y^2\). Градиент это вектор, состоящий из частных производных функции по каждой из переменных.

\[\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)\]

Вычислим частные производные:

\[\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^5y^2\]

\[\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^6 \cdot 2y = 4x^6y\]

Теперь найдем градиент в точке \(N(2-\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\):

\[\nabla z(2-\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) = \left( 6(2-\sqrt{2})^5(3\sqrt{2})^2, 4(2-\sqrt{2})^6 \cdot 3\sqrt{2} \right)\]

\[\nabla z(2-\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) = \left( 6(2-\sqrt{2})^5 \cdot 18, 4(2-\sqrt{2})^6 \cdot 3\sqrt{2} \right)\]

Следовательно, градиент в точке \(N\) равен:

\[\nabla z(2-\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) = \left( 108(2-\sqrt{2})^5, 12(2-\sqrt{2})^6 \sqrt{2} \right)\]

Теперь определим вектор направления \(\vec{v}\) для биссектрисы первого квадранта, который будет иметь координаты \(\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) - единичный вектор, указывающий в направлении биссектрисы.

Подставим значения в формулу производной по направлению:

\[D_{\vec{v}}f(2-\sqrt{2},3\sqrt{2}) = \left( 108(2-\sqrt{2})^5, 12(2-\sqrt{2})^6 \sqrt{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\]

Выполнив вычисления, получим производную функции \(z = x^6y^2\) в точке \(N(2-\sqrt{2}, 3\sqrt{2})\) по направлению биссектрисы первого квадранта.