а) Нехай точки M1(-5,17,21) та M2(2,3,0) m:n=4:3, λ= –5. Знайдіть: а) координати, довжину, напрямні косинуси

Zvezdopad

54

a) Для решения этой задачи нам понадобятся следующие шаги.

1) Найдем вектор \(\overrightarrow{M1M2}\), соединяющий точки M1 и M2. Для этого вычтем из координат точки M2 координаты точки M1:

\[
\overrightarrow{M1M2} = (2 - (-5), 3 - 17, 0 - 21) = (7, -14, -21)
\]

2) Для нахождения длины вектора \(\overrightarrow{M1M2}\) воспользуемся формулой длины вектора:

\[
|\overrightarrow{M1M2}| = \sqrt{7^2 + (-14)^2 + (-21)^2} = \sqrt{49 + 196 + 441} = \sqrt{686} \approx 26.18
\]

3) Найдем направляющие косинусы вектора \(\overrightarrow{M1M2}\), разделив каждую координату вектора на его длину:

\[
\cos \alpha = \frac{7}{\sqrt{686}}, \quad \cos \beta = \frac{-14}{\sqrt{686}}, \quad \cos \gamma = \frac{-21}{\sqrt{686}}
\]

4) Найдем орт вектора \(\overrightarrow{M1M2}\), разделив каждую координату вектора на его длину:

\[
\overrightarrow{u} = \left(\frac{7}{\sqrt{686}}, \frac{-14}{\sqrt{686}}, \frac{-21}{\sqrt{686}}\right)
\]

Таким образом, получаем ответ на первую часть задачи:

1) Координаты вектора \(\overrightarrow{M1M2}\) равны (7, -14, -21).
2) Длина вектора \(\overrightarrow{M1M2}\) равна примерно 26.18.
3) Направляющие косинусы вектора \(\overrightarrow{M1M2}\) равны \(\cos \alpha = \frac{7}{\sqrt{686}}, \cos \beta = \frac{-14}{\sqrt{686}}, \cos \gamma = \frac{-21}{\sqrt{686}}\).
4) Орт вектора \(\overrightarrow{M1M2}\) равен \(\left(\frac{7}{\sqrt{686}}, \frac{-14}{\sqrt{686}}, \frac{-21}{\sqrt{686}}\right)\).

б) Для решения этой части задачи нам нужно найти координаты точки М, которая делит отрезок \(\overline{M1M2}\) в отношении m:n.

1) Найдем координаты точки М, используя формулу разделения отрезка в данном отношении:

\[
M = \frac{m \cdot M2 + n \cdot M1}{m + n} = \frac{4 \cdot (2, 3, 0) + 3 \cdot (-5, 17, 21)}{4 + 3} = \frac{(8, 12, 0) + (-15, 51, 63)}{7} = \frac{(-7, 63, 63)}{7} = (-1, 9, 9)
\]

Таким образом, координаты точки М равны (-1, 9, 9).

в) Для решения этой части задачи нам нужно найти координаты точки М3, которая делит отрезок \(\overline{M1M2}\) в отношении \(\lambda : (m + n)\).

1) Найдем координаты точки М3, используя формулу разделения отрезка в данном отношении:

\[
M3 = \frac{\lambda \cdot M2 + (m + n) \cdot M1}{\lambda + (m + n)} = \frac{-5 \cdot (2, 3, 0) + 7 \cdot (-5, 17, 21)}{-5 + 7} = \frac{(-10, -15, 0) + (-35, 119, 147)}{2} = \frac{(-45, 104, 147)}{2} = (-22.5, 52, 73.5)
\]

Таким образом, координаты точки М3 примерно равны (-22.5, 52, 73.5).

Надеюсь, эта подробная информация поможет понять решение задачи школьнику. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать.