а) Определить, какие значения х входят в область определения функции. б) Определить, какие значения у могут принимать

Milochka

33

Конечно! Давайте решим вашу задачу.

1. Для начала, давайте определим область определения функции. Область определения - это набор всех возможных значений переменной \(x\), для которых функция определена. В нашем случае, функция \(f(x)\) не имеет ограничений на переменную \(x\), поэтому это значит, что все значения \(x\) входят в область определения функции.

Теперь перейдем к следующему пункту.

2. Чтобы определить значения, которые может принимать функция \(f(x)\), нам нужно вычислить ее значения при различных значениях \(x\). Давайте вычислим некоторые значения функции \(f(x) = x^2 - 10x\):

a. \(f(5)\): Подставляем \(x = 5\) в функцию:
\[f(5) = (5)^2 - 10 \cdot 5 = 25 - 50 = -25\]

b. \(f(-2)\): Подставляем \(x = -2\) в функцию:
\[f(-2) = (-2)^2 - 10 \cdot (-2) = 4 + 20 = 24\]

c. \(f(0)\): Подставляем \(x = 0\) в функцию:
\[f(0) = (0)^2 - 10 \cdot 0 = 0\]

Таким образом, мы получаем следующие значения: \(f(5) = -25\), \(f(-2) = 24\), \(f(0) = 0\).

Перейдем к следующему пункту.

3. Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает, нам нужно найти значения \(x\), при которых функция увеличивается. Функция \(f(x) = x^2 - 10x\) является параболой с ветвями, направленными вверх. Парабола будет возрастать на интервалах, где значение функции увеличивается. Чтобы найти эти интервалы, мы можем использовать вершину параболы, которая находится в точке \((h, k)\), где \(h\) - это значение \(x\)-координаты вершины, а \(k\) - это значение \(y\)-координаты вершины. Значение \(x\)-координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы \(h = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x\) в уравнении параболы \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

В нашем случае уравнение параболы имеет вид \(f(x) = x^2 - 10x\), поэтому \(a = 1\) и \(b = -10\). Подставляем значения в формулу и находим значение \(h\):
\[h = -\frac{(-10)}{2 \cdot 1} = 5\]

Таким образом, \(x\)-координата вершины параболы равна 5. Чтобы определить интервалы возрастания функции, нам нужно рассмотреть интервалы, где \(x\) больше или равно 5. Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает на интервале \([5, +\infty)\).

Переходим к следующему пункту.

4. Чтобы определить интервалы, на которых функция убывает, нам нужно найти значения \(x\), при которых функция уменьшается. Функция \(f(x) = x^2 - 10x\) является параболой с ветвями, направленными вверх. Парабола будет убывать на интервалах, где значение функции уменьшается. Опять же, используем вершину параболы, чтобы определить эти интервалы. Мы ранее нашли значение \(h = 5\) для \(x\)-координаты вершины. Значит, функция \(f(x)\) будет убывать на интервале \((-\infty, 5]\).

Переходим к следующему пункту.

5. Чтобы найти значения \(x\) при которых функция равна нулю, мы должны решить уравнение \(f(x) = 0\). В нашем случае:
\[x^2 - 10x = 0\]

Мы можем факторизовать это уравнение:
\[x(x - 10) = 0\]

Таким образом, у нас два возможных значения \(x\), при которых функция равна нулю: \(x = 0\) и \(x = 10\).

6. Чтобы определить интервалы, на которых функция принимает положительные значения, нужно найти значения \(x\), при которых функция больше нуля. В нашем случае функция \(f(x) = x^2 - 10x\) является параболой с ветвями, направленными вверх, и она будет принимать положительные значения на интервалах между корнями уравнения \(f(x) = 0\). У нас два корня: \(x = 0\) и \(x = 10\). Значит, функция \(f(x)\) принимает положительные значения на интервалах \((0, 10)\) и \((10, +\infty)\).

7. Чтобы определить интервалы, на которых функция принимает отрицательные значения, мы должны найти значения \(x\), при которых функция меньше нуля. В нашем случае, функция \(f(x) = x^2 - 10x\) будет принимать отрицательные значения на интервалах вне корней уравнения \(f(x) = 0\). Значит, функция \(f(x)\) принимает отрицательные значения на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((0, 10)\).

8. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x)\). Для этого нам нужно учесть форму параболы. Функция \(f(x) = x^2 - 10x\) является параболой с ветвями, направленными вверх. Это означает, что наибольшее значение функции будет достигаться в вершине параболы. Ранее мы уже нашли значение \(x\)-координаты вершины параболы, которая равна 5. Подставим это значение \(x\) в функцию \(f(x)\) для нахождения \(y\)-координаты вершины:
\[f(5) = (5)^2 - 10 \cdot 5 = 25 - 50 = -25\]

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) равно -25.

Наименьшее значение функции не ограничено, так как парабола с ветвями, направленными вверх, не имеет минимума.

Вот все, что мы можем сказать о данной функции \(f(x) = x^2 - 10x\). Если у вас остались вопросы или требуется пояснение, пожалуйста, дайте мне знать!