А) Определите координаты центра сферы и ее радиус, если дано уравнение сферы: x2 + y2 - 4y + z2 - 4z - 1=0. Ответ

Svetlyachok_V_Lesu

49

a) Для определения координат центра и радиуса сферы, заданной уравнением \(x^2 + y^2 - 4y + z^2 - 4z - 1 = 0\), необходимо привести уравнение к каноническому виду.

Чтобы преобразовать данное уравнение в каноническую форму, нужно завершить квадраты для членов, содержащих переменные x, y и z.

Для полного квадрата \(x^2 + bx\) добавляется квадрат половины коэффициента b, а для полного квадрата \(-4y + c\) добавляется квадрат половины коэффициента c.

Преобразуем уравнение:
\[x^2 + y^2 - 4y + z^2 - 4z - 1 = 0\]
\[x^2 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 4z + 4 - 9 = 0\]

Выделим квадраты и перенесем свободный член:
\[(x^2 + 4) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 4z + 4) = 9\]

Получим:
\[(x^2 + 4) + (y^2 - 4y + 4) + (z^2 - 4z + 4) = 9\]

Теперь у нас есть квадраты полных тождеств, поэтому мы можем переписать уравнение в следующем виде:
\[(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9\]

Таким образом, получаем уравнение сферы в канонической форме:
\[(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9\]

Сравнивая это уравнение с общим уравнением сферы \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\), можно сделать вывод, что координаты центра сферы: O(0; 2; 2), а радиус сферы равен 3 (так как \(\sqrt{9} = 3\)).

b) Для нахождения уравнения сферы, если известны координаты центра O(4; 2; 2) и координаты точки B(2; 0; 1), которая лежит на поверхности сферы, воспользуемся общим уравнением сферы:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\).

Подставим в данное уравнение координаты центра O(4; 2; 2) и найдем значение радиуса \(r\):
\((x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = r^2\)

Также заменим переменные \(x\), \(y\), \(z\) на координаты точки B(2; 0; 1):
\((2 - 4)^2 + (0 - 2)^2 + (1 - 2)^2 = r^2\)

Выполним арифметические операции:
\((-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = r^2\)
\(4 + 4 + 1 = r^2\)
\(9 = r^2\)

Получили, что \(r = 3\) (так как \(\sqrt{9} = 3\)).

Итак, уравнение сферы, при условии, что точка B(2; 0; 1) лежит на поверхности сферы и известны координаты центра O(4; 2; 2), имеет вид:
\((x - 4)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 9\).