а) Подтвердите равенство PK*BK=AK*KC для трапеции ABCD, где AK:KB=2:7 (рис.260). б) Найдите отношение площадей

Aleks

38

а) Для того чтобы подтвердить равенство \(PK \cdot BK = AK \cdot KC\) для трапеции ABCD, нам необходимо использовать информацию о пропорции отношений длин сторон AK и KB.

Из условия задачи известно, что пропорция между AK и KB равна 2:7. Это означает, что AK составляет 2 части от общей длины AK+KB, а KB составляет 7 частей от общей длины.

Обозначим длину AK как 2x и длину KB как 7x (где x представляет себя некоторую длину единичной части, единичный сегмент). Теперь мы можем записать длины сторон AK и KB через обозначенные переменные: AK = 2x, KB = 7x.

Также, в трапеции ABCD диагонали AD и BC пересекаются в точке K. Обозначим длину сегмента BK как y и длину сегмента KC как z.

Используя геометрический факт о пересекающихся диагоналях, мы можем записать следующие равенства: AK + KB = AD, BK + KC = BC.

Раскроем эти равенства, используя известные длины AK и KB: 2x + 7x = AD, y + z = BC.

Так как AB и CD являются параллельными сторонами трапеции, следовательно, диагонали AD и BC также параллельны.

Теперь мы можем сформулировать равенство PK * BK = AK * KC и подтвердить его.

PK * BK = AK * KC
(7x - y) * y = (2x) * (z)
7xy - y^2 = 2xz

Таким образом, мы подтвердили равенство PK * BK = AK * KC для трапеции ABCD.

б) Теперь давайте найдем отношение площадей и периметров треугольников APK и KCB для трапеции ABCD, где AK:KB=2:7 (рис.260).

Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где a - основание треугольника, h - высота треугольника.

Периметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон.

Так как треугольник APK имеет сторону AK (длины 2x) как одно из оснований и высоту BK (длины y), его площадь будет равна \(S_{APK} = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot y = xy\) и его периметр будет равен \(P_{APK} = AK + BK + AP = 2x + y + 2x = 4x + y\).

Аналогичным образом, для треугольника KCB, его площадь будет \(S_{KCB} = \frac{1}{2} \cdot 7x \cdot z = \frac{7}{2}xz\) и его периметр будет \(P_{KCB} = KB + KC + BC = 7x + z + 7x = 14x + z\).

Теперь найдем отношение площадей треугольников APK и KCB: \(\frac{S_{APK}}{S_{KCB}} = \frac{xy}{\frac{7}{2}xz} = \frac{2}{7}\).

Аналогичным образом, найдем отношение периметров треугольников APK и KCB: \(\frac{P_{APK}}{P_{KCB}} = \frac{4x + y}{14x + z}\).

Итак, мы нашли отношение площадей и периметров треугольников APK и KCB для трапеции ABCD, где AK:KB=2:7 (рис.260). Отношение площадей составляет 2:7, а отношение периметров зависит от конкретных значений x, y и z.