Доведіть, що круги, що вписані в трикутники АВМ та МВС, торкаються на стороні АС трикутника

Примула

48

Для решения данной задачи, нам понадобится знание о свойствах вписанного и описанного окружностей треугольника.

По свойствам вписанного окружности треугольника, точка касания окружности с отрезком является точкой деления данного отрезка с внешней стороны в отношении длин прилегающих отрезков. Таким образом, мы можем сказать, что точка касания окружности, вписанной в треугольник АВМ, с отрезком АС делит этот отрезок на две части, причем отношение длины АС к длине АМ равно отношению длины отрезка, проведенного из точки касания окружности с вершиной М к вершине A, к длине отрезка, проведенного из точки касания окружности с вершиной А к вершине М.

Аналогично, по свойствам вписанного окружности треугольника МВС, точка касания окружности с отрезком СМ делит этот отрезок на две части, причем отношение длины СМ к длине СВ равно отношению длины отрезка, проведенного из точки касания окружности с вершиной В к вершине С, к длине отрезка, проведенного из точки касания окружности с вершиной С к вершине В.

Теперь мы можем заключить, что отрезки АС и СМ являются частями двух соответственных сегментов, так как проходят из точек касания окружностей с противоположными вершинами (т.е. АМ и СВ), и отношение длин этих отрезков определено по одному и тому же принципу. Так как эти отрезки образуют одну сторону треугольника, то мы имеем дело со строением касательной.

Таким образом, мы доказали, что окружности, вписанные в треугольники АВМ и МВС, касаются на стороне АС треугольника.