a) Покажите, что треугольник mnk является равнобедренным, используя его вершины, заданные координатами: m(1

Skvoz_Kosmos

20

Хорошо, начнем с задачи а).

Для того чтобы показать, что треугольник \(mnk\) является равнобедренным, нам необходимо доказать, что длины двух его сторон равны.

Имеем вершины треугольника \(m(1; 4)\), \(n(1; -2)\) и \(k(9; 1)\).

1. Найдем длину стороны \(mn\):
Используем формулу расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

Для точек \(m\) и \(n\) получаем расстояние:
\[d_{mn} = \sqrt{{(1 - 1)}^2 + {(4 - (-2))}^2}\]
= \(\sqrt{{0}^2 + {6}^2}\)
= \(\sqrt{0 + 36}\)
= \(\sqrt{36}\)
= 6

2. Найдем длину стороны \(mk\):
Используем формулу расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

Для точек \(m\) и \(k\) получаем расстояние:
\[d_{mk} = \sqrt{{(1 - 9)}^2 + {(4 - 1)}^2}\]
= \(\sqrt{{-8}^2 + {3}^2}\)
= \(\sqrt{64 + 9}\)
= \(\sqrt{73}\)

3. Найдем длину стороны \(nk\):
Используем формулу расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

Для точек \(n\) и \(k\) получаем расстояние:
\[d_{nk} = \sqrt{{(1 - 9)}^2 + {(-2 - 1)}^2}\]
= \(\sqrt{{-8}^2 + {(-3)}^2}\)
= \(\sqrt{64 + 9}\)
= \(\sqrt{73}\)

Теперь сравним полученные результаты:
\(d_{mn} = 6\) и \(d_{mk} = d_{nk} = \sqrt{73}\).

Таким образом, мы видим, что длины сторон \(mk\) и \(nk\) равны, а сторона \(mn\) имеет другую длину.

Отсюда следует, что треугольник \(mnk\) не является равнобедренным.

Теперь перейдем к задаче b) и определим высоту, проведенную из одной из вершин треугольника.

Строим перпендикуляр к стороне, из которой хотим провести высоту. Возьмем сторону \(mn\) в качестве этой стороны.

Для определения высоты нам понадобится найти уравнение прямой, проходящей через вершину \(k(9; 1)\), параллельной оси \(y\).

Уравнение прямой, параллельной оси \(y\), имеет вид:
\[x = c\]

Где \(c\) - координата \(x\) точки, через которую проходит прямая.

Так как прямая проходит через точку \(k(9; 1)\), то \(c = 9\).

Таким образом, уравнение прямой будет:
\[x = 9\]

Для определения координаты точки пересечения прямой и стороны \(mn\) воспользуемся уравнением прямой \(mn\):
\[y = mx + b\]

Где \(m\) и \(b\) - параметры уравнения прямой.

Найдем параметр \(m\):
\[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Для точек \(m(1; 4)\) и \(n(1; -2)\) имеем:
\[m = \frac{{-2 - 4}}{{1 - 1}}\]
= \(\frac{{-6}}{{0}}\) (деление на ноль невозможно)

Так как знаменатель равен нулю, то уравнение прямой \(mn\) будет:
\[x = 1\]

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой \(x = 1\) и \(x = 9\). Обе прямые параллельны оси \(y\), поэтому точка пересечения будет иметь координаты \((1, y)\) и \((9, y)\).

Таким образом, \(x = 1\) и \(x = 9\) совпадают, а значит, прямые пересекаются при \(x = 1, y = y\).

Высота - это расстояние между точкой пересечения прямых и вершиной треугольника \(m\).

У нас есть две точки: \(m(1; 4)\) и \((1, y)\).

Для нахождения высоты воспользуемся формулой расстояния между двумя точками:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}\]

В данном случае у нас есть точки \(m(1; 4)\) и \((1, y)\).

\[d = \sqrt{{(1 - 1)}^2 + {(4 - y)}^2}\]
= \(\sqrt{{0}^2 + {(4 - y)}^2}\)
= \(\sqrt{{(4 - y)}^2}\)
= \(|4 - y|\)

Таким образом, высота равна \(|4 - y|\).

Чтобы найти значение \(y\), подставим в уравнение прямой \(x = 1\) значение \(x\) и найдем соответствующее значение \(y\).

Имеем \(x = 1\) и \(x = 1\), поэтому \(y = 1\).

Таким образом, высота, проведенная из вершины треугольника \(m\), равна \(|4 - 1| = |3| = 3\).

Итак, мы показали, что треугольник \(mnk\) не является равнобедренным, и определили высоту, проведенную из вершины треугольника \(m\), равную 3.