А) Покажите, что выражение хn = 3 + 2n является неограниченно возрастающей, используя определение неограниченно

Barbos

64

Конечно! Давайте начнем с задачи А.

а) Чтобы показать, что выражение \(х_n = 3 + 2n\) является неограниченно возрастающей, мы должны использовать определение неограниченно возрастающей функции. На языке "M - N" это означает, что для любых двух чисел \(M\) и \(N\) (где \(M < N\)), существует такой номер \(n\), после которого значения функции \(x_n\) начинают возрастать, и никогда не станут меньше.

Предположим, у нас есть два числа \(M\) и \(N\), где \(M < N\). Мы должны найти такой номер \(n\), после которого значения функции \(x_n\) начинают возрастать и остаются больше \(M\).

Мы можем найти такой номер, решив неравенство \(3 + 2n > M\). Давайте перенесем число 3 на другую сторону неравенства и разделим обе части на 2, чтобы избавиться от коэффициента при \(n\):

\[2n > M - 3\]

Теперь разделим обе части неравенства на 2:

\[n > \frac{{M - 3}}{2}\]

Таким образом, мы нашли такое значение числа \(n\), после которого все значения функции \(x_n\) будут возрастать и оставаться больше \(M\). Следовательно, выражение \(х_n = 3 + 2n\) является неограниченно возрастающей.

б) Чтобы найти предел выражения \(х_n = 3 + 2n\), мы должны определить значение, к которому стремятся значения функции \(x_n\) при \(n\), т.е. \(n\) стремится к бесконечности.

Мы можем предположить, что значение предела равно \(L\). Тогда мы можем записать следующее:

\[\lim_{{n \to \infty}} (3 + 2n) = L\]

При \(n\), стремящемся к бесконечности, значение \(2n\) будет становиться все больше и больше, а значение \(3 + 2n\) будет также увеличиваться безгранично.

Поэтому мы можем заключить, что предел выражения \(х_n = 3 + 2n\) не существует, так как он стремится к бесконечности.

Вот так, мы показали, что выражение \(х_n = 3 + 2n\) является неограниченно возрастающей и предел этого выражения не существует.