а) Постройте таблицу, отображающую вероятностное распределение случайной величины Х на основе результатов 45 студентов

Luna_V_Oblakah

42

Хорошо, давайте решим поставленную задачу.

а) Чтобы построить таблицу вероятностного распределения случайной величины Х, основываясь на результатах 45 студентов на приемных экзаменах, нам сначала нужно проанализировать эти результаты. Давайте предположим, что оценки студентов представлены в виде числовых значений от 0 до 100.

После этого, мы можем начать подсчитывать количество студентов, получивших каждую оценку. Затем, для каждой оценки, мы найдем относительную частоту, разделив количество студентов, получивших данную оценку, на общее количество студентов (в данном случае 45).

Построим таблицу, в которой первый столбец будет содержать значения оценок (от 0 до 100), второй столбец - количество студентов, получивших данную оценку, а третий столбец - относительную частоту.

Пример таблицы вероятностного распределения случайной величины Х:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Оценка (Х)} & \text{Количество студентов} & \text{Относительная частота} \\
\hline
60 & 4 & 0.089 \\
\hline
70 & 10 & 0.222 \\
\hline
80 & 17 & 0.378 \\
\hline
90 & 12 & 0.267 \\
\hline
100 & 2 & 0.044 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, построив данную таблицу, мы сможем визуально представить вероятностное распределение случайной величины Х на основе результатов 45 студентов на приемных экзаменах.

б) Чтобы найти размах выборки, необходимо определить разницу между наибольшим и наименьшим значением в выборке оценок студентов. В данном случае, выборка состоит из 45 оценок.

Предположим, что самая высокая полученная оценка равна 95, а самая низкая - 35.

Тогда, размах выборки будет равен:

\[
\text{Размах выборки} = \text{Наибольшее значение} - \text{Наименьшее значение} = 95 - 35 = 60
\]

Таким образом, размах выборки в данном случае составляет 60.

в) Для нахождения моды выборки необходимо определить значение или значения, которые наиболее часто встречаются в выборке оценок студентов.

Из таблицы, которую мы построили в пункте (а), можно увидеть, что наибольшее количество студентов (17) получили оценку 80. Поэтому мода выборки равна 80.

Чтобы найти медиану выборки, необходимо упорядочить все оценки студентов по возрастанию и найти значение, которое будет находиться посередине. В случае, если количество оценок четное, медиана определяется как среднее арифметическое двух значений, расположенных в середине.

Давайте предположим, что оценки студентов уже упорядочены, и медиана будет равна оценке, которая будет находиться посередине. В данном случае выборка содержит 45 оценок, и для нахождения медианы нам понадобятся оценки, которые находятся на 23-м и 24-м местах (поскольку 45 - нечетное число).

Пусть оценки на 23-м и 24-м местах будут равны 85 и 87 соответственно.

Значит, медиана выборки будет равна:

\[
\text{Медиана выборки} = \frac{{85 + 87}}{2} = 86
\]

Таким образом, мода выборки равна 80 и медиана выборки равна 86.

г) Для вычисления математического ожидания выборки, мы должны умножить каждую оценку студента на ее вероятность и сложить все полученные произведения.

Используя таблицу из пункта (а), мы можем умножить каждую оценку на соответствующую ей относительную частоту и сложить результаты:

\[
\text{Математическое ожидание выборки} = 60\times0.089 + 70\times0.222 + 80\times0.378 + 90\times0.267 + 100\times0.044
\]

Проведя вычисления, получаем:

\[
\text{Математическое ожидание выборки} \approx 80.33
\]

Таким образом, математическое ожидание для данной выборки оценок составляет примерно 80.33.

д) Для вычисления дисперсии выборки, мы должны найти среднее арифметическое квадратов разности каждой оценки и математического ожидания.

Давайте использовать значения оценок и математического ожидания, которые мы уже определили.

Сначала найдем разности каждой оценки и математического ожидания, возведем их в квадрат, затем умножим на соответствующую относительную частоту и сложим все полученные произведения:

\[
\text{Дисперсия выборки} = (60 - 80.33)^2 \times 0.089 + (70 - 80.33)^2 \times 0.222 + (80 - 80.33)^2 \times 0.378 + (90 - 80.33)^2 \times 0.267 + (100 - 80.33)^2 \times 0.044
\]

Проведя вычисления, получаем:

\[
\text{Дисперсия выборки} \approx 126.27
\]

Таким образом, дисперсия для данной выборки оценок составляет примерно 126.27.

е) Чтобы вычислить среднее квадратическое отклонение выборки, необходимо взять квадратный корень из дисперсии.

В данном случае, среднее квадратическое отклонение равно:

\[
\text{Среднее квадратическое отклонение выборки} = \sqrt{126.27} \approx 11.23
\]

Таким образом, среднее квадратическое отклонение для данной выборки составляет примерно 11.23.

Анализируя данный пример, мы смогли построить таблицу вероятностного распределения, найти размах выборки, моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для данной выборки оценок студентов на приемных экзаменах.