а) При каких значениях углов будет примерно одинаковая дальность полета? Проверьте результат с использованием формулы

Валентина

60

а) Для определения значений углов, при которых дальность полета будет примерно одинаковой, мы можем использовать формулу для расчета дальности полета шарика:

\[l = \frac{{u_0^2 \sin(2 \alpha_0)}}{g}\]

где \(l\) - дальность полета, \(u_0\) - модуль скорости вылета шарика, \(\alpha_0\) - угол вылета, \(g\) - ускорение свободного падения.

Для того чтобы дальность полета была примерно одинаковой, мы можем предположить, что модуль скорости вылета \(u_0\) остается постоянным. Таким образом, значения углов \(\alpha_0\) будут определять дальность полета.

Проверим результаты с использованием формулы (1) для нескольких значений углов. Для примера, предположим, что \(u_0 = 10\) м/с и \(g = 9.8\) м/с^2.

1. Пусть \(\alpha_0 = 30^\circ\):
Подставляем значения в формулу:

\[l = \frac{{10^2 \sin(2 \cdot 30^\circ)}}{9.8} \approx 20.41\]

2. Пусть \(\alpha_0 = 45^\circ\):
Подставляем значения в формулу:

\[l = \frac{{10^2 \sin(2 \cdot 45^\circ)}}{9.8} \approx 20.41\]

3. Пусть \(\alpha_0 = 60^\circ\):
Подставляем значения в формулу:

\[l = \frac{{10^2 \sin(2 \cdot 60^\circ)}}{9.8} \approx 20.41\]

Как видно из результатов, при данных условиях дальность полета примерно одинакова для всех трех углов вылета. Таким образом, при значениях углов \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\) дальность полета будет примерно одинаковой.

б) Чтобы найти угол, при котором будет достигнута максимальная дальность полета, мы можем найти максимум функции \(l = \frac{{u_0^2 \sin(2 \alpha)}}{g}\). Для этого можем проанализировать производную этой функции по отношению к углу \(\alpha\) и найти точку, где производная равна нулю.

Для удобства, перепишем формулу для дальности полета:

\[l = \frac{{2u_0^2 \sin \alpha \cos \alpha}}{g}\]

Теперь найдем производную:

\[\frac{{dl}}{{d\alpha}} = \frac{{2u_0^2 (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}}{g}\]

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[\frac{{2u_0^2 (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}}{g} = 0\]

В данном случае \(u_0\) и \(g\) являются постоянными значениями. Решение этого уравнения показывает, что максимум достигается, когда \(\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\).

Так как \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\), то уравнение примет вид:

\[1 - \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha\]

Решая это уравнение, получаем:

\[\sin^2 \alpha = \frac{1}{2}\]

Так как \(\sin \alpha > 0\) в первой и второй четвертях, то решаемая система равенств имеет два решения:

\[\alpha = 30^\circ \quad \text{или} \quad \alpha = 150^\circ\]

Таким образом, при значениях угла вылета \(30^\circ\) и \(150^\circ\) будет достигнута максимальная дальность полета.

Соответствие этих результатов теории заключается в том, что максимальная дальность полета может быть достигнута при равном значении синуса и косинуса угла вылета. В нашем случае, \(\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}\), а \(\cos 30^\circ = \cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), что соответствует условиям максимальной дальности полета по теории.