а) Путем использования формулы сложения, переформулируйте выражение cos(п/4-ф). б) С помощью формулы сложения, измените

Ящерка

47

a) Для переформулировки выражения \(cos(\frac{\pi}{4}-\phi)\) с помощью формулы сложения косинусов, нам понадобится заменить \(\frac{\pi}{4}\) на сумму двух углов.

Используя формулу сложения косинусов, запишем:
\[cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) - sin(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

Тогда заменим \(\frac{\pi}{4}\) на \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\):

\[cos(\frac{\pi}{4}-\phi) = cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} -\phi\right)\]

Теперь мы можем применить формулу сложения косинусов:
\[cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) - sin(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

Продолжим подстановку значений:
\[cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} -\phi\right) = \left(cos(\frac{\pi}{6}) \cdot cos(\frac{\pi}{12}) - sin(\frac{\pi}{6}) \cdot sin(\frac{\pi}{12})\right) \cdot cos(\phi) - \left(cos(\frac{\pi}{6}) \cdot sin(\frac{\pi}{12}) + sin(\frac{\pi}{6}) \cdot cos(\frac{\pi}{12})\right) \cdot sin(\phi)\]

b) Теперь перейдем к переформулировке выражения \(cos(\frac{\pi}{4}+\phi)\) с помощью формулы сложения косинусов.

Используя ту же формулу сложения косинусов, запишем:
\[cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) - sin(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

Заменим \(\frac{\pi}{4}\) на \(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\):

\[cos(\frac{\pi}{4}+\phi) = cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \phi\right)\]

Применим формулу для нахождения косинуса суммы двух углов:
\[cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) \cdot cos(\beta) - sin(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

\[cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} + \phi\right) = \left(cos(\frac{\pi}{6}) \cdot cos(\frac{\pi}{12}) - sin(\frac{\pi}{6}) \cdot sin(\frac{\pi}{12})\right) \cdot cos(\phi) - \left(cos(\frac{\pi}{6}) \cdot sin(\frac{\pi}{12}) + sin(\frac{\pi}{6}) \cdot cos(\frac{\pi}{12})\right) \cdot sin(\phi)\]

в) Теперь перейдем к преобразованию выражения \(sin(\phi+\frac{\pi}{4})\) с использованием формулы сложения синусов.

Формула для нахождения синуса суммы двух углов имеет вид:
\[sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) \cdot cos(\beta) + cos(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

Заменим \(\frac{\pi}{4}\) на \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}\):
\[sin(\phi+\frac{\pi}{4}) = sin(\phi + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6})\]

Применяем формулу для нахождения синуса суммы двух углов:
\[sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha) \cdot cos(\beta) + cos(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

\[sin(\phi + \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) = sin(\phi) \cdot cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) + cos(\phi) \cdot sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6})\]

г) И последнее, преобразуем выражение \(sin(\phi-\frac{\pi}{4})\) с использованием формулы сложения синусов.

Формула для нахождения синуса разности двух углов имеет вид:
\[sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha) \cdot cos(\beta) - cos(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

Теперь заменим \(\frac{\pi}{4}\) на \(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}\):
\[sin(\phi-\frac{\pi}{4}) = sin(\phi -(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}))\]

Применим формулу для нахождения синуса разности двух углов:
\[sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha) \cdot cos(\beta) - cos(\alpha) \cdot sin(\beta)\]

\[sin(\phi -(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6})) = sin(\phi) \cdot cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) - cos(\phi) \cdot sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6})\]