а) Следующее утверждение должно быть доказано: биссектрисы углов cbt, bcd и bac пересекаются в одной точке (назовём

Солнечный_Берег_3990

53

Чтобы доказать, что биссектрисы углов \(CBT\), \(BCD\) и \(BAC\) пересекаются в одной точке \(P\), мы можем использовать свойство биссектрисы угла.

Свойство биссектрисы угла гласит, что биссектриса угла делит его на два равных угла. Используя это свойство, мы можем доказать, что точка пересечения биссектрис будет одна.

Пусть \(BP\) будет биссектрисой угла \(BCD\), \(CP\) - биссектрисой угла \(CBT\) и \(AP\) - биссектрисой угла \(BAC\).

Для начала, предположим, что эти три биссектрисы пересекаются в разных точках \(P_1, P_2\) и \(P_3\). Если это так, то мы должны показать, что все три угла \(CBP_1\), \(ABP_1\) и \(CBP_1\) равны.

Рассмотрим угол \(CBP_1\). Так как точка \(P_1\) лежит на биссектрисе угла \(BCD\), то углы \(P_1BC\) и \(P_1BD\) должны быть равными. Также, так как точка \(P_1\) лежит на биссектрисе угла \(CBT\), то углы \(P_1BC\) и \(P_1BT\) также должны быть равными. Значит, углы \(P_1BC\), \(P_1BD\) и \(P_1BT\) равны между собой.

Аналогично, мы можем показать, что углы \(P_2AB\), \(P_2AC\) и \(P_2BT\) равны, а также, что углы \(P_3AC\), \(P_3AB\) и \(P_3BD\) равны.

Теперь рассмотрим угол \(BPC\). У нас есть информация, что \(\angle BPC\) равен 70 градусам. Мы также знаем, что углы \(P_1BD\) и \(P_3BD\) равны. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, то мы можем записать уравнение:

\[\angle BPC + \angle P_3BD + \angle P_1BD = 180^\circ\]

Заметим, что углы \(\angle P_3BD\) и \(\angle P_1BD\) равны между собой, так как они являются соответствующими углами при пересечении параллельных прямых \(BP_3\) и \(BP_1\) с прямой \(BD\).

Подставим известные значения в уравнение:

\[70^\circ + \angle P_3BD + \angle P_3BD = 180^\circ\]

\[2 \cdot \angle P_3BD + 70^\circ = 180^\circ\]

\[2 \cdot \angle P_3BD = 110^\circ\]

\[\angle P_3BD = 55^\circ\]

Также, так как угол \(\angle P_1BD\) равен углу \(\angle P_3BD\), то \(\angle P_1BD = 55^\circ\).

Теперь, используя свойство биссектрисы, мы можем утверждать, что углы \(P_1BC\), \(P_1BD\) и \(P_1BT\) равны между собой. Значит,

\(\angle P_1BC = 55^\circ\),

\(\angle P_1BD = 55^\circ\),

и \(\angle P_1BT = 55^\circ\).

Но это означает, что уголёк \(ABC\) является равнобедренным треугольником, так как его биссектрисы \(BP_1\) и \(AP_1\) равны. Это противоречит условию, что \(ABC\) - произвольный треугольник.

Таким образом, мы пришли к выводу, что биссектрисы углов \(CBT\), \(BCD\) и \(BAC\) действительно пересекаются в одной точке \(P\).

Для ответа на вторую часть задачи, чтобы найти угол \(BAC\), если угол \(BPC\) равен 70 градусам, мы можем использовать факт о центральном угле и его соответствующему дуге наокружности.

Так как угол \(BPC\) равен 70 градусам, а точка \(P\) является точкой пересечения биссектрис углов, мы можем заключить, что дуга \(BC\) равна двойному углу \(BPC\).

Так как дуга \(BC\) является соответствующей дугой для центрального угла \(BAC\), то мы можем записать уравнение:

\[2 \cdot \angle BAC = \text{дуга } BC\]

\[2 \cdot \angle BAC = 70^\circ\]

\[\angle BAC = 35^\circ\]

Таким образом, угол \(BAC\) равен 35 градусам.

Надеюсь, ответ был понятен и подробен для вас. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать их!