Какой радиус имеет окружность, которая вписана в этот квадрат с радиусом окружности, описанной вокруг него, равным

Магический_Кот

64

Для решения этой задачи нам нужно использовать некоторые свойства окружностей и квадратов.

Пусть $r$ - радиус вписанной окружности, $R$ - радиус описанной окружности, и $s$ - сторона квадрата.

Свойство 1: В треугольнике, вписанном в окружность, если мы проведем перпендикуляр из центра окружности к любой из сторон треугольника, он разделит сторону пополам.

Используя это свойство для нашего квадрата, перпендикуляры, проведенные из центра вписанной окружности к сторонам квадрата, делят каждую сторону пополам.

Таким образом, длина каждой из сторон квадрата будет равна $2r$.

Свойство 2: Диагональ квадрата равна двум радиусам описанной окружности.

Используя это свойство для нашего квадрата, диагональ $d$ будет равна $2R$.

Теперь мы можем решить задачу:

У нас есть заданное значение радиуса описанной окружности $R=44\sqrt{2}$. По свойству 2, диагональ квадрата равна $2R$, поэтому $d=2\cdot 44\sqrt{2}$.

Длина диагонали квадрата может быть найдена по теореме Пифагора, где $s$ - сторона квадрата:

$$d=\sqrt{s^2+s^2}=\sqrt{2s^2}$$

Теперь мы можем приравнять два значения для диагонали:

$$2R=\sqrt{2s^2}$$

$$2\cdot 44\sqrt{2}=\sqrt{2s^2}$$

Чтобы решить это уравнение, возведем в квадрат обе стороны:

$$(2\cdot 44\sqrt{2}{)}^2=(2s{)}^2$$

$$2^2\cdot {44}^2\cdot 2=4s^2$$

$$2\cdot {44}^2\cdot 2=s^2$$

$$1936=s^2$$

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

$$s=\sqrt{1936}$$

$$s=44$$

Таким образом, сторона квадрата равна 44. А так как сторона квадрата равна $2r$, то радиус вписанной окружности будет равен половине стороны квадрата:

$$r=\frac{44}{2}=22$$

Таким образом, радиус вписанной окружности составляет 22.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответ на данную задачу! Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!