а) В классе из 30 учеников 20 получают отличные оценки по физике и 10 по математике. Какое количество учеников в этом

Raduzhnyy_Den_228

67

а) Данные задачи можно решить с помощью математических множеств. Давайте определим несколько множеств:

\(F\) - множество учеников, получающих отличные оценки по физике,
\(M\) - множество учеников, получающих отличные оценки по математике.

По условию задачи, размер множества \(F\) равен 20, размер множества \(M\) равен 10, и также для обоих предметов 5 человек не получают отличных оценок. Задача состоит в определении количества учеников, которые являются отличниками и по физике, и по математике одновременно.

Для этого мы можем воспользоваться пересечением множеств \(F\) и \(M\), обозначим его как \(FM\). Из определения пересечения следует, что \(|FM| = |F \cap M|\), где |X| обозначает мощность множества X.

Поэтому нам нужно найти мощность \(F \cap M\).

Количество учеников, не получающих отличные оценки ни по одному из предметов, равно 5. Это означает, что существуют 5 учеников, которые не входят ни в множество \(F\), ни в множество \(M\).

Чтобы найти размер \(F \cap M\), мы можем использовать формулу включений-исключений:

\[|F \cap M| = |F| + |M| - |F \cup M|\]

где \(F \cup M\) обозначает объединение множеств \(F\) и \(M\).

Размер объединения множеств \(F\) и \(M\) может быть найден из следующего уравнения:

\[|F \cup M| = |F| + |M| - |F \cap M| + | \text{{не отличники}}|\]

Известно, что размер объединения множеств \(F\) и \(M\) равен 30, так как всего в классе 30 учеников.

Подставляя значения, получаем:

\[30 = 20 + 10 - |F \cap M| + 5\]

Упрощая это уравнение мы найдем:

\(|F \cap M| = 5\)

Таким образом, ответ на задачу а) состоит в том, что 5 учеников являются отличниками и по физике, и по математике одновременно.

б) Данный вариант задачи очень похож на первый, поэтому мы можем использовать аналогичный подход. Здесь также есть 5 человек, которые не получают отличных оценок ни по одному из предметов. Можем идентифицировать множества:

\(E\) - множество учеников, получающих отличные оценки по английскому языку.

Также, по условию, размер объединения множеств \(E\) и \(M\) равен 12 (12 отличников хотя бы по одному из предметов). Мы хотим определить количество учеников, которые являются отличниками и по английскому языку, и по математике.

Из формулы включений-исключений получаем:

\[|E \cap M| = |E| + |M| - |E \cup M|\]

Размер объединения множеств \(E\) и \(M\) может быть найден из следующего уравнения:

\[|E \cup M| = |E| + |M| - |E \cap M| + | \text{{не отличники}}|\]

Дано, что размер объединения множеств \(E\) и \(M\) равен 12.

Подставляя значения, получаем:

\[12 = 5 + 10 - |E \cap M| + 5\]

Упрощая это уравнение мы найдем:

\(|E \cap M| = 8\)

Таким образом, ответ на задачу б) состоит в том, что 8 учеников являются отличниками и по английскому языку, и по математике одновременно.

в) Данная задача не требует применения формулы включений-исключений. Мы знаем, что только 2 ученика получают отличные оценки по всем трём предметам.

Таким образом, ответ на задачу в) состоит в том, что в классе всего 2 ученика получают пятёрки по всем трём предметам.