a) Во время Второй мировой войны, на каком расстоянии от прожектора находился немецкий самолёт, когда прожектор поймал

Pyatno

46

Установлено, что прожектор "поймал" немецкий самолет под углом 45° к горизонту на пределе своей видимости и "сопровождал" его на постоянной высоте до угла 60°. Для нахождения расстояния от прожектора до самолета и высоты самолета воспользуемся геометрическими соотношениями.

a) Расстояние от прожектора до самолета:
Изображаем задачу на координатной плоскости, выбираем произвольную точку O, которая будет являться прожектором. Пусть точка P обозначает самолет, а точка A - его проекцию на горизонт (точку, где самолет был "пойман" прожектором).

$\mathrm{\angle }BOP=45°$ - заданный угол
$\mathrm{\angle }BOM=90°$ - так как O является прожектором и находится на расстоянии от горизонта
$\mathrm{\angle }BOA=90°$ - так как A является проекцией самолета на горизонт
Таким образом, $\mathrm{\angle }BOM+\mathrm{\angle }BOA+\mathrm{\angle }AOM=180°$
$90°+90°+\mathrm{\angle }AOM=180°$
$\mathrm{\angle }AOM=0°$

Следовательно, треугольник AOM - это прямоугольный треугольник. Мы можем использовать его для нахождения расстояния от прожектора до самолета.

Так как $\mathrm{\angle }AOM=0°$, то $AM=AO$
Также, у нас есть соотношение $\mathrm{\angle }MOA=\mathrm{\angle }MOP+\mathrm{\angle }AOP=45°+60°=105°$

Теперь, воспользуемся тригонометрической функцией синус, чтобы найти расстояние от прожектора до самолета.
$\sin (\mathrm{\angle }MOA)=\frac{AM}{OM}$
$\sin (105°)=\frac{AM}{OM}$

Решив данное уравнение, мы найдем отношение между расстоянием от прожектора до самолета и расстоянием от прожектора до горизонта. Находим AM, зная OM.

Известно, что прожектор "поймал" самолет на пределе своей видимости. По определению, это расстояние от прожектора до горизонта. Пусть это расстояние будет L.

Теперь мы можем найти AM используя соотношение:
$\sin (105°)=\frac{AM}{L}$

Таким образом, расстояние от прожектора до самолета равно $AM=\sin (105°)\cdot L$.

b) Высота самолета:
Ранее мы определили, что AM - это расстояние от прожектора до самолета. Однако нам нужно найти высоту самолета - высоту от земли до самолета.

По заданию, самолет был "сопровожден" прожектором на постоянной высоте до угла 60°.
Пусть H обозначает высоту самолета.

Возьмем правильный треугольник BMP, где точка B - самолет, точка M - прожектор, а точка P - проекция самолета на землю.

Так как у нас есть прямой угол BMP и $\mathrm{\angle }BPM=\mathrm{\angle }BAM=60°$, то в треугольнике BMP углы равны.
Это означает, что треугольник BMP - равносторонний треугольник, и MP = BP = H.

Таким образом, высота самолета равна высоте от прожектора до проекции самолета на землю, то есть высоте прожектора, то есть H = $\sin (45°)\cdot L$.

Итак, чтобы ответить на вопросы задачи:
a) Во время Второй мировой войны немецкий самолет находился на расстоянии $AM=\sin (105°)\cdot L$ от прожектора.
b) Немецкий самолет находился на высоте H = $\sin (45°)\cdot L$.