а) Выведите доказательство того, что плоскость adc₁ является перпендикулярной плоскости fbb₁. б) Определите расстояние

Сонечка

51

Для начала, давайте разберемся, что означают данные обозначения. Плоскость adc₁ обозначает плоскость, проходящую через точку a и перпендикулярную ребру dc₁. Плоскость fbb₁ обозначает плоскость, проходящую через точку b и перпендикулярную ребру fb₁.

а) Для доказательства того, что плоскость adc₁ является перпендикулярной плоскости fbb₁, нам необходимо показать, что векторы, перпендикулярные этим плоскостям, будут коллинеарны. Давайте исследуем это.

Вектор adc₁ можно представить в виде разности векторов ac₁ и ad.

\[ \overrightarrow{adc₁} = \overrightarrow{ac₁} - \overrightarrow{ad} \]

Также вектор fbb₁ можно представить в виде разности векторов fb₁ и bf.

\[ \overrightarrow{fbb₁} = \overrightarrow{fb₁} - \overrightarrow{bf} \]

Теперь нам необходимо показать, что эти два вектора коллинеарны. Для этого проверим, будут ли они коллинеарны, если их скалярное произведение равно нулю. Давайте вычислим скалярное произведение:

\[ (\overrightarrow{adc₁} \cdot \overrightarrow{fbb₁}) = 0 \]

Поскольку мы знаем, как выглядят векторы adc₁ и fbb₁, мы можем подставить их значения:

\[ (\overrightarrow{ac₁} - \overrightarrow{ad}) \cdot (\overrightarrow{fb₁} - \overrightarrow{bf}) = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (\overrightarrow{ac₁} \cdot \overrightarrow{fb₁}) - (\overrightarrow{ac₁} \cdot \overrightarrow{bf}) - (\overrightarrow{ad} \cdot \overrightarrow{fb₁}) + (\overrightarrow{ad} \cdot \overrightarrow{bf}) = 0 \]

Теперь мы можем заметить, что векторы ac₁ и fb₁ перпендикулярны, поскольку они находятся на различных плоскостях. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\[ (\overrightarrow{ac₁} \cdot \overrightarrow{fb₁}) = 0 \]

Аналогично, векторы ad и bf также перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю:

\[ (\overrightarrow{ad} \cdot \overrightarrow{bf}) = 0 \]

Теперь у нас остались два выражения:

\[ - (\overrightarrow{ac₁} \cdot \overrightarrow{bf}) = 0 \]
\[ - (\overrightarrow{ad} \cdot \overrightarrow{fb₁}) = 0 \]

Это означает, что векторы ac₁ и bf, а также векторы ad и fb₁, перпендикулярны друг другу. Следовательно, плоскость adc₁ является перпендикулярной плоскости fbb₁.

б) Теперь давайте найдем расстояние от точки c до плоскости adc₁. Если мы знаем, что aa₁ = 4 и косинус угла между прямой ac₁ и плоскостью abc равен 3/√13, то мы можем использовать эти данные для нахождения расстояния.

Расстояние от точки c до плоскости adc₁ можно выразить через проекцию вектора ca₁ на нормаль плоскости adc₁. Нормаль плоскости adc₁ является перпендикулярной плоскости, поэтому она параллельна вектору ac₁.

Обозначим вектор нормали плоскости adc₁ как \(\overrightarrow{n}\) и вектор ac₁ как \(\overrightarrow{v}\). Тогда расстояние \(d\) можно выразить следующим образом:

\[ d = \frac{|\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} \]

Теперь нам нужно найти величину скалярного произведения \(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}\) и модуль нормали плоскости \(\overrightarrow{n}\).

Поскольку мы знаем, что косинус угла между прямой ac₁ и плоскостью abc равен 3/√13, мы можем использовать значение косинуса для вычисления скалярного произведения:

\[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} = |\overrightarrow{v}| \cdot |\overrightarrow{n}| \cdot \cos\theta \]

Подставим значения:

\[ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n} = 4 \cdot |\overrightarrow{n}| \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} \]

Теперь у нас остается найти модуль вектора n. Чтобы это сделать, мы должны знать, как выглядит вектор n. В данном случае это вектор нормали плоскости adc₁.

Поскольку плоскость adc₁ перпендикулярна плоскости abc, она также будет перпендикулярна к ее вектору нормали, обозначим его как \(\overrightarrow{n_1}\).

Таким образом, вектор n будет совпадать с вектором n₁. Можем также предположить, что нормализованное значение вектора \(\overrightarrow{n}\) равно 1:

\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{n_1} \]

Теперь нам нужно найти модуль вектора n₁:

\[ |\overrightarrow{n}| = |\overrightarrow{n_1}| \]

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем вычислить расстояние \(d\):

\[ d = \frac{|\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{4 \cdot |\overrightarrow{n}| \cdot \frac{3}{\sqrt{13}}}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{12}{\sqrt{13}} \]

Таким образом, расстояние от точки c до плоскости adc₁ равно \(\frac{12}{\sqrt{13}}\).