Алгебра 9 класс. Арифметическая прогрессия. 1. Как найти 15-й член арифметической прогрессии (аn), если первый член

Magicheskiy_Feniks

67

1. Чтобы найти 15-й член арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу для общего члена арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_n\) - искомый член, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер искомого члена, \(d\) - разность прогрессии.

В данном случае первый член равен 14, а разность равна -7. Подставляя эти значения в формулу, получаем

\[a_{15} = 14 + (15-1)(-7)\]

Решая данное уравнение, получаем

\[a_{15} = 14 + 14(-7) = 14 + (-98) = -84\]

Таким образом, 15-й член арифметической прогрессии равен -84.

2. Чтобы найти сумму первых 6 членов арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\).

В данном случае первый член равен -9, а разность равна 3 (так как каждый следующий член на 3 больше предыдущего). Найдем 6-й член арифметической прогрессии, используя формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\):

\[a_6 = -9 + (6-1)3 = -9 + 5\cdot 3 = -9 + 15 = 6\]

Теперь, подставляя значения в формулу для суммы первых 6 членов, получаем:

\[S_6 = \frac{6(-9 + 6)}{2} = \frac{6 \cdot (-3)}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Таким образом, сумма первых 6 членов арифметической прогрессии равна -9.

3. Для данной последовательности \(a_n = 5n - 8\) мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\).

В данном случае первый член равен \(a_1 = 5\cdot 1 - 8 = -3\). Найдем 30-й член арифметической прогрессии, используя формулу \(a_n = 5n - 8\):

\(a_{30} = 5 \cdot 30 - 8 = 150 - 8 = 142\)

Теперь, подставляя значения в формулу для суммы первых 30 членов, получаем:

\(S_{30} = \frac{30(-3 + 142)}{2} = \frac{30 \cdot 139}{2} = 30 \cdot 69 = 2070\)

Таким образом, сумма первых 30 членов последовательности равна 2070.

4. Чтобы проверить, является ли число 56 членом арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии и проверить, выполняется ли данное число в данной прогрессии.

Первый член равен 7, а шестой член равен 17. Используя формулу \(a_n = a_1 + (n-1)d\), найдем разность прогрессии:

\(a_6 = a_1 + (6-1)d\)

\(17 = 7 + 5d\)

\(5d = 17 - 7 = 10\)

\(d = \frac{10}{5} = 2\)

Теперь найдем общий член арифметической прогрессии, используя формулу:

\(a_n = 7 + (n-1)2\)

Подставляя \(a_n = 56\), решим уравнение:

\(56 = 7 + (n-1)2\)

\(49 = 2n - 2\)

\(2n = 49 + 2\)

\(2n = 51\)

\(n = \frac{51}{2} = 25.5\)

Так как \(n\) является дробным числом, число 56 не является членом данной арифметической прогрессии.

5. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих заданного числа, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии \(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\), где \(n\) - количество чисел, \(a_1\) - первое число, \(a_n\) - последнее число.

Для данного случая первое число равно 4, а шаг прогрессии также равен 4. Найдем последнее число, не превосходящее заданное число:

\((4, 8, 12, 16, ...)\)

\(\text{Последовательность является арифметической прогрессией с разностью } d = 4\)
\(\text{Последовательность арифметической прогрессии описывается формулой } a_n = a_1 + (n-1)d\)

То есть \(a_1 = 4\), \(d = 4\)

Подставляя значения в формулу \(a_n = 4 + (n-1)4\), получаем:

\[4 + (n-1)4 = n \cdot 4\]
\[4 + 4n - 4 = 4n\]
\[n = 1\]

Таким образом, последнее число, не превосходящее заданное число, равно 4. Теперь, подставляя значения в формулу для суммы арифметической прогрессии, получаем:

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{1(4 + 4)}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих заданное число, равна 4.