Альпинисты отправились на вершину горы. Какова высота горы, если температура воздуха у подножия составляет +18 °C

Вечный_Странник

11

Для решения данной задачи нам потребуется использовать понятие атмосферного давления и изменение температуры со сменой высоты. Давление относительно высоты можно выразить следующей формулой:

\[P = P_0 \cdot \left(1 - \frac{{L \cdot h}}{{T_0}}\right)^{\frac{{g \cdot M}}{{R \cdot L}}}\]

где:
- \(P\) - давление на высоте \(h\),
- \(P_0\) - давление на уровне моря (стандартное атмосферное давление, принимаемое равным 101325 Па),
- \(L\) - средняя температурная лапласиана (условная константа, равная 0,0065 К/м),
- \(T_0\) - температура на уровне моря (принимаемая равной 288,15 К),
- \(g\) - ускорение свободного падения (принимаемое равным 9,8 м/с²),
- \(M\) - молярная масса сухого воздуха (принимаемая равной 0,02896 кг/моль),
- \(R\) - универсальная газовая постоянная (принимаемая равной 8,314 Дж/(моль·К)).

Из формулы видно, что при изменении высоты \(h\) давление \(P\) меняется. Давление на уровне моря известно и равно стандартному атмосферному давлению \(P_0\). Атмосферное давление также зависит от температуры и влажности воздуха, но в данной задаче мы пренебрегаем этими факторами.

Зная температуру воздуха \(T_1\) у подножия горы и температуру воздуха \(T_2\) на вершине горы, мы можем использовать формулу состояния идеального газа для определения высоты горы. Формула состояния идеального газа имеет вид:

\[P_1 \cdot V_1 = n \cdot R \cdot T_1\]
\[P_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2\]

где:
- \(P_1\) и \(P_2\) - давление на уровне подножия и вершины горы соответственно,
- \(V_1\) и \(V_2\) - объемы воздуха на уровне подножия и вершины горы соответственно,
- \(n\) - количество вещества воздуха (можно считать постоянным).

Исключая количество вещества \(n\) из этих двух уравнений, мы получаем:

\[\frac{{P_1 \cdot V_1}}{{P_0}} = \frac{{T_1}}{{T_0}}\]
\[\frac{{P_2 \cdot V_2}}{{P_0}} = \frac{{T_2}}{{T_0}}\]

Делим второе уравнение на первое:

\[\frac{{P_2 \cdot V_2}}{{P_1 \cdot V_1}} = \frac{{T_2}}{{T_1}}\]

Поскольку объем воздуха у подножия горы равен объему воздуха на вершине горы (так как это один и тот же воздушный баллон), мы можем сократить эти величины:

\[\frac{{P_2}}{{P_1}} = \frac{{T_2}}{{T_1}}\]

Теперь мы можем выразить давление на вершине горы \(P_2\) через давление у подножия горы \(P_1\) и температуры \(T_1\) и \(T_2\):

\[P_2 = P_1 \cdot \frac{{T_2}}{{T_1}}\]

Подставим в эту формулу изначальные данные: \(P_1 = P_0\) (стандартное атмосферное давление), \(T_1 = 18 + 273,15\) (температура у подножия горы в Кельвинах) и \(T_2\) (температура на вершине горы в Кельвинах).

Далее, подставляем данную формулу в формулу атмосферного давления:

\[P = P_0 \cdot \left(1 - \frac{{L \cdot h}}{{T_0}}\right)^{\frac{{g \cdot M}}{{R \cdot L}}}\]

и получаем уравнение для определения высоты горы \(h\):

\[h = \frac{{T_0}}{{L}} \cdot \left(1 - \left(\frac{{P}}{{P_0}}\right)^{\frac{{R \cdot L}}{{g \cdot M}}}\right)\]

Теперь, зная значения \(T_0\), \(L\), \(g\), \(M\), \(P_0\), \(T_2\) и \(P_2\), мы можем подставить их в данную формулу и вычислить высоту горы \(h\).