C-17, b-3 1. Какие точки, м(7; 6; 5), b(3; 0; 1), c(0; 2; 3), d(4; 0; 0), находятся: а) в плоскости оуz; б) на

Darya

55

Давайте решим задачу step by step.

1. Какие точки находятся в плоскости \(OYZ\)?

Чтобы определить, какие точки находятся в плоскости \(OYZ\), нужно проверить, что координата \(x\) каждой точки равна 0. Проведем проверку для каждой точки:

a) Точка \(m(7; 6; 5)\): Здесь \(x = 7\), поэтому эта точка не находится в плоскости \(OYZ\).

b) Точка \(b(3; 0; 1)\): Здесь \(x = 3\), поэтому эта точка не находится в плоскости \(OYZ\).

c) Точка \(c(0; 2; 3)\): Здесь \(x = 0\), поэтому эта точка находится в плоскости \(OYZ\).

d) Точка \(d(4; 0; 0)\): Здесь \(x = 4\), поэтому эта точка не находится в плоскости \(OYZ\).

Таким образом, единственная точка, которая находится в плоскости \(OYZ\), это точка \(c(0; 2; 3)\).

2. Какое расстояние от точки \(m(2; 3; 4)\) до:

a) координатных плоскостей?

Чтобы найти расстояние от точки до плоскостей, мы можем использовать формулу расстояния между точкой и плоскостью. Для плоскости \(OXY\) (координатная плоскость) эта формула будет:

\[d = \frac{{Ax + By + Cz + D}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Где \(Ax + By + Cz + D = 0\) - уравнение плоскости. В случае \(OXY\) уравнение плоскости будет \(z = 0\).

Подставляя значения точки \(m\) в формулу, получаем:

\[d = \frac{{0 \cdot 4 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 0}}{{\sqrt{{0^2 + 0^2 + 1^2}}}} = \frac{4}{1} = 4\]

То есть, расстояние от точки \(m(2; 3; 4)\) до плоскости \(OXY\) равно 4.

Аналогичным образом, можно найти расстояния до плоскостей \(OXZ\) и \(OYZ\). Для плоскости \(OXZ\) (координатная плоскость) уравнение будет \(y = 0\) и для плоскости \(OYZ\) (координатная плоскость) уравнение будет \(x = 0\). Подставляя значения точки \(m\) в формулы, получим:

Для плоскости \(OXZ\):
\[d = \frac{{0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 + 0}}{{\sqrt{{0^2 + 1^2 + 0^2}}}} = \frac{3}{1} = 3\]

Для плоскости \(OYZ\):
\[d = \frac{{1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 0}}{{\sqrt{{1^2 + 0^2 + 0^2}}}} = \frac{6}{1} = 6\]

Таким образом, расстояние от точки \(m(2; 3; 4)\) до плоскости \(OXZ\) равно 3, а до плоскости \(OYZ\) равно 6.

b) осей координат?

Расстояние от точки до осей координат можно найти с использованием формулы расстояния между двумя точками. Поскольку оси координат образуют прямые линии, а точка \(m(2; 3; 4)\) находится вне осей, расстояние до каждой оси будет равно модулю соответствующей координаты точки \(m\):

От оси \(OX\):
\[d = |2 - 0| = 2\]

От оси \(OY\):
\[d = |3 - 0| = 3\]

От оси \(OZ\):
\[d = |4 - 0| = 4\]

Таким образом, расстояние от точки \(m(2; 3; 4)\) до осей координат будет 2 для оси \(OX\), 3 для оси \(OY\) и 4 для оси \(OZ\).

в) начала координат?

Расстояние от точки до начала координат также можно найти с использованием формулы расстояния между двуми точками. Так как начало координат точка с координатами (0; 0; 0), то расстояние от точки \(m(2; 3; 4)\) до начала координат будет:

\[d = \sqrt{{(2 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (4 - 0)^2}} = \sqrt{{2^2 + 3^2 + 4^2}} = \sqrt{{29}}\]

Таким образом, расстояние от точки \(m(2; 3; 4)\) до начала координат равно \(\sqrt{{29}}\).

3. Найдите точку \(p(0; 0; z)\) на оси \(OZ\), которая находится на равном расстоянии от двух точек \(c(-3; 2; 1)\) и \(d(4; 0; 0)\).

Чтобы найти точку на оси \(OZ\), которая находится на равном расстоянии от двух данных точек, мы можем воспользоваться средней точкой. Средняя точка между двумя точками \(c\) и \(d\) находится на полпути между ними вдоль каждой оси.

Для координаты \(z\) точки \(p\), мы можем взять среднее значение координат \(z\) для точек \(c\) и \(d\):

\[(1 + 0) / 2 = \frac{1}{2}\]

Таким образом, точка \(p\) находится на оси \(OZ\) и имеет координаты \(p(0; 0; \frac{1}{2})\).

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе я пошагово решил каждую часть задачи, описывая необходимые шаги для получения ответа и обосновывая их.