C1: Каков коэффициент полезного действия n при неупругом ударе молота массой 1,5×10³ кг по раскаленной болванке массой

Путник_С_Камнем

58

Коэффициент полезного действия (n) можно определить как отношение полезной работы (Aп) к работе, совершенной над системой (Aс):

\[ n = \frac{{Aп}}{{Aс}} \]

В данной задаче деформация болванки считается полезной работой, следовательно:

\[ Aп = Aс \]

Таким образом, коэффициент полезного действия (n) будет равен 1.

Однако, чтобы решить эту задачу, мы должны сначала рассчитать работу, совершенную над системой (Aс). Работа может быть вычислена с использованием следующей формулы:

\[ Aс = F \cdot s \cdot \cos \theta \]

где F - сила, s - перемещение и \(\theta\) - угол между направлением силы и перемещения.

В данной задаче молот наносит удар по болванке, вызывая ее деформацию. При этом сила, с которой молот воздействует на болванку, является исходными данными (неизвестными). Однако, поскольку молот движется вертикально (параллельно ускорению свободного падения), можно сказать, что угол \(\theta\) равен 0 градусов и \(\cos \theta = 1\). Поэтому формула упрощается:

\[ Aс = F \cdot s \]

Чтобы продолжить решение задачи, мы должны найти значение силы, с которой молот воздействует на болванку. Для этого нам понадобятся законы сохранения.

Так как в задаче удар молота является неупругим, момент до столкновения системы (молота и болванки) и момент после столкновения должны быть равны.

Момент до столкновения:
Масса молота: m₁ = 1,5 x 10³ кг
Скорость молота до столкновения: v₁ (неизвестно)

Момент после столкновения:
Масса молота: m₁ = 1,5 x 10³ кг
Скорость молота после столкновения: v₂ (неизвестно)
Масса болванки: m₂ = 2,0 x 10⁴ кг
Скорость болванки после столкновения: v₃ (неизвестно)

Момент до столкновения равен моменту после столкновения:

\[ m₁ \cdot v₁ = m₁ \cdot v₂ + m₂ \cdot v₃ \]

Теперь мы можем выразить v₁ из этого уравнения:

\[ v₁ = \frac{{m₁ \cdot v₂ + m₂ \cdot v₃}}{{m₁}} \]

Также важно заметить, что при неупругом ударе молота по болванке, скорость молота и болванки после столкновения равны между собой:

\[ v₂ = v₃ = v \]

Теперь, когда у нас есть выражение для v₁, мы можем вернуться к формуле для работы:

\[ Aс = F \cdot s \]

Мы знаем, что работа равна изменению кинетической энергии системы:

\[ Aс = \Delta KE \]

Кинетическая энергия определяется следующей формулой:

\[ KE = \frac{{1}}{{2}} \cdot m \cdot v² \]

где m - масса объекта, v - его скорость.

Таким образом, изменение кинетической энергии (\(\Delta KE\)) будет равно:

\[ \Delta KE = \frac{{1}}{{2}} \cdot (m₁ \cdot v₁² - m₁ \cdot v₂² - m₂ \cdot v₃²) \]

Теперь, используя выражение для v₁ и учитывая, что v₂ = v₃ = v, мы можем упростить это выражение:

\[ \Delta KE = \frac{{1}}{{2}} \cdot (m₁ \cdot (\frac{{m₁ \cdot v + m₂ \cdot v}}{{m₁}})² - m₁ \cdot v² - m₂ \cdot v²) \]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[ \Delta KE = \frac{{1}}{{2}} \cdot (\frac{{(m₁ \cdot v + m₂ \cdot v)²}}{{m₁}} - 2 \cdot m₁ \cdot v² - m₂ \cdot v²) \]

Теперь мы можем найти работу (\(Aс\)), используя это выражение.

Поскольку в условии задачи сказано, что деформация болванки считается полезной работой (\(Aп = Aс\)), коэффициент полезного действия (n) будет равен 1.

Итак, ответ:
Коэффициент полезного действия (n) при неупругом ударе молота по раскаленной болванке равен 1.