CD хордасының ұзындығын табу үшін, орындалуы 10 см болатын О нүктесінің радиусымен AB диаметріне перпендикуляр

Yak

29

Хорошо, давайте решим данную задачу поэтапно.

1. Дано: мы имеем окружность с радиусом \( r \) и хордой \( AB \), перпендикулярной диаметру. Угол \( COA \) равен 30 градусам.

2. Вспомним свойства окружности и треугольника.

3. В треугольнике \( COA \), так как \( CO \) - радиус, а \( AO \) и \( CO \) это две половины диаметра, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника.

4. А значит, мы знаем, что угол \( AOC \) (то есть \( COA \)) равен углу между хордой и радиусом, проведенным из центра окружности.

5. Таким образом, у нас есть правильный треугольник между точками \( A \), \( O \) и \( C \), так как угол \( 30^\circ \) является одним из особых значений в правильном треугольнике.

6. В правильном треугольнике, угол между радиусом и хордой равен половине угла при центре, то есть \( 30^\circ \).

7. Используя свойства правильного треугольника, можем найти все известные значения. В треугольнике \( COA \), каждый угол равен \( 60^\circ \) (поскольку это правильный треугольник), и мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \).

8. Теперь располагая углом \( AOC \) равным \( 60^\circ \), мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник \( OAB \).

9. В этом прямоугольном треугольнике, у нас есть угол \( BAO \), который является прямым. Таким образом, у нас есть угол \( BAO = 90^\circ \).

10. Так как угол \( AOC \) равен половине \( BAO \) в правильном треугольнике, то есть \( 30^\circ \), то и угол \( BAO \) равен \( 60^\circ \).

11. Теперь мы знаем, что угол \( BAO \) в прямоугольном треугольнике равен \( 60^\circ \), а угол \( ABO \) также равен \( 90^\circ \).

12. Таким образом, мы можем заключить, что данный прямоугольный треугольник \( OAB \) является 30-60-90 треугольником.

13. В 30-60-90 треугольнике отношения сторон равны следующему:

- Сторона, противолежащая углу \( 30^\circ \), равна \( x \).
- Сторона, противолежащая углу \( 60^\circ \), равна \( x \cdot \sqrt{3} \).
- Гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу), равна \( 2x \).

14. В данной задаче гипотенуза треугольника равна хорде \( AB \), которая составляет 10 см.

15. Подставив значение гипотенузы, мы получаем:

\[ 2x = 10 \]

Решим это уравнение:

\[ x = \frac{10}{2} = 5 \]

16. Теперь мы нашли значение стороны \( x \). Но в задаче мы искали длину хорды \( CD \).

17. Чтобы найти длину хорды \( CD \), мы можем использовать отношение сторон 30-60-90 треугольника.

18. Сторона, противолежащая углу \( 30^\circ \), равна \( x \), значит, сторона \( CD \) равна \( 5 \) см.

Таким образом, мы нашли, что длина хорды \( CD \) равна \( 5 \) см.