Чем отличается число 2,5(7) от числа 2,57 (решение)?

Собака_6429

15

Число 2,5(7) отличается от числа 2,57 в том, что оно является периодической десятичной дробью. Давайте разберемся в деталях.

Число 2,5(7) можно записать в виде:

2,5777777...

Здесь символы 7 после запятой повторяются бесконечно. Это означает, что после числа 2,5 каждая цифра 7 будет повторяться без конца.

Теперь рассмотрим число 2,57. В этом числе после запятой нет повторяющихся цифр, оно остается конечным.

Мы можем выразить числа в виде обыкновенных дробей, чтобы сравнить их точнее:

2,5(7) = 2 + \(\frac{7}{10} + \frac{7}{100} + \frac{7}{1000} + ...\)

2,57 = 2 + \(\frac{5}{10} + \frac{7}{100}\)

Теперь давайте посмотрим, какие выводы можно сделать на основе этих записей.

Число 2,5(7) можно представить в виде суммы числа 2 и бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(\frac{7}{10}\) и знаменателем \(\frac{1}{10}\). Мы можем применить формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - r},\]

где \(S\) - сумма, \(a\) - первый член, \(r\) - знаменатель.

В нашем случае, \(a = \frac{7}{10}\) и \(r = \frac{1}{10}\), поэтому:

\[S = \frac{\frac{7}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9}.\]

Таким образом, мы получаем, что число 2,5(7) равно \(\frac{7}{9}\).

С другой стороны, число 2,57 может быть записано как сумма числа 2 и обыкновенной десятичной дроби:

2,57 = 2 + \(\frac{5}{10} + \frac{7}{100}\) = \(\frac{25}{10} + \frac{7}{100}\).

Мы можем упростить это выражение, получив общий знаменатель:

2,57 = \(\frac{250}{100} + \frac{7}{100}\) = \(\frac{257}{100}\).

Итак, число 2,57 можно записать как \(\frac{257}{100}\).

Таким образом, отличие между числами 2,5(7) и 2,57 заключается в их представлении: первое число представлено как периодическая десятичная дробь, а второе число - как обыкновенная десятичная дробь. Кроме того, мы выяснили, что числа имеют различные значения: 2,5(7) равно \(\frac{7}{9}\), а 2,57 равно \(\frac{257}{100}\).