Чему равен коэффициент перед членом с x в степени 4 в многочлене x(1-x)^10+x^2(1-2x)^20+x^3(1-3x)^30, если все операции

Skvoz_Tmu_703

40

Для того чтобы найти коэффициент перед членом \(x^4\) в многочлене \(x(1-x)^{10}+x^2(1-2x)^{20}+x^3(1-3x)^{30}\), мы должны разобраться с каждым слагаемым и выполнить все операции.

Давайте разберем каждое слагаемое по очереди:

1. \(x(1-x)^{10}\):

В данном случае мы имеем произведение монома \(x\) и бинома \((1-x)^{10}\). Чтобы найти коэффициент перед \(x^4\) в этом слагаемом, мы можем воспользоваться формулой разложения бинома:

\((a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + ... + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\).

В нашем случае \(a=x\), \(b=1-x\), а \(n=10\). Чтобы найти коэффициент перед \(x^4\), нам понадобятся только слагаемые, содержащие \(x^4\). Это будет член сочетания с индексом 6, так как \(n-k=6\) в данном случае, где \(k\) - степень \(x\).

Коэффициент перед \(x^4\) в первом слагаемом равен:

\(\binom{10}{6}x^6(1-x)^{10-6} = \binom{10}{6}x^6(1-x)^4\).

2. \(x^2(1-2x)^{20}\):

Аналогично первому слагаемому, мы имеем произведение монома \(x^2\) и бинома \((1-2x)^{20}\). Для нахождения коэффициента перед \(x^4\) мы снова воспользуемся формулой разложения бинома:

\((a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + ... + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\).

В данном случае \(a=1\), \(b=-2x\) и \(n=20\). Чтобы найти коэффициент перед \(x^4\), нам снова понадобятся только слагаемые, содержащие \(x^4\). Это будет слагаемое с номером 3, так как \(n-k=3\) в данном случае.

Коэффициент перед \(x^4\) во втором слагаемом равен:

\(\binom{20}{3}x^4(-2x)^{20-3} = \binom{20}{3}x^4(-2x)^{17}\).

3. \(x^3(1-3x)^{30}\):

Для этого слагаемого у нас также есть произведение монома \(x^3\) и бинома \((1-3x)^{30}\). Используя формулу разложения бинома, мы можем найти коэффициент перед \(x^4\):

\((a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + ... + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n\).

В данном случае \(a=1\), \(b=-3x\) и \(n=30\). Чтобы найти коэффициент перед \(x^4\), нам нужно найти слагаемое с номером 2 по формуле \(n-k=2\).

Коэффициент перед \(x^4\) в третьем слагаемом равен:

\(\binom{30}{2}x^2(-3x)^{30-2} = \binom{30}{2}x^2(-3x)^{28}\).

Теперь нам остается только сложить все найденные коэффициенты:

\(\binom{10}{6}x^6(1-x)^4 + \binom{20}{3}x^4(-2x)^{17} + \binom{30}{2}x^2(-3x)^{28}\).

Таким образом, мы получаем ответ на задачу.