Какая часть стороны квадрата делится линией сгиба, если после перегиба она располагается в середине противоположной

Марат

68

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно провести некоторые геометрические рассуждения. Представьте, что у нас есть квадрат со стороной \(a\). Мы перегибаем это квадрат вдоль одной из его сторон. Пусть линия сгиба делит одну сторону на две равные части.

После перегиба часть стороны, которая располагается в середине противоположной стороны, будет обозначена как \(x\). Чтобы найти значение \(x\), мы можем воспользоваться подобием треугольников.

Давайте рассмотрим следующую диаграмму:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Квадрат} & & \\
\hline
& & \\
& & \\
\hline
& a & \\
\hline
\end{array}
\]

После перегиба квадрат будет выглядеть так:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Квадрат} & & \\
\hline
& & \\
& x & \\
\hline
& a-x & \\
\hline
\end{array}
\]

Также мы видим, что сторона, пересекаемая линией сгиба, будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника, а \(x\) и \((a-x)\) — катетами этого треугольника.

Применим теперь теорему Пифагора к этому треугольнику:
\((a-x)^2 = x^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\(a^2 - 2ax + x^2 = x^2 + \frac{a^2}{4}\)

Вычтем \(x^2\) из обеих сторон уравнения и приведем подобные члены:
\(a^2 - 2ax = \frac{a^2}{4}\)

Теперь выразим \(x\):
\(2ax = \frac{3a^2}{4}\)

Делим обе стороны на \(2a\):
\(x = \frac{3a}{8}\)

Таким образом, мы нашли, что часть стороны квадрата, которая делится линией сгиба и располагается в середине противоположной стороны, равна \(\frac{3a}{8}\).

Теперь мы можем найти отношение этой части к длине стороны квадрата. Отношение будет равно:
\(\frac{x}{a} = \frac{\frac{3a}{8}}{a} = \frac{3}{8}\)

Таким образом, отношение этой части к длине стороны квадрата составляет \(\frac{3}{8}\).