Чему равен коэффициент при a^5 b^5 в разложении бинома 〖(a+b)〗^10?

Алена

30

Хорошо, чтобы найти коэффициент при \(a^5 b^5\) в разложении бинома \((a+b)^{10}\), мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит:

\[(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^{n-1} b^1 + C(n,2)a^{n-2} b^2 + ...\]

где \(C(n,k)\) - это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

\[C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В данном случае, \(n = 10\) и мы ищем коэффициент при \(a^5 b^5\), что означает, что \(k = 5\).

Подставим значения в формулу:

\[(a+b)^{10} = C(10,0)a^{10} b^0 + C(10,1)a^9 b^1 + C(10,2)a^8 b^2 + ...+ C(10,5)a^5 b^5 + ...\]

Теперь нам нужно вычислить \(C(10,5)\):

\[C(10,5) = \frac{10!}{5!(10-5)!}\]
\[C(10,5) = \frac{10!}{5!5!}\]
\[C(10,5) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5!}\]
\[C(10,5) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[C(10,5) = \frac{30240}{120}\]
\[C(10,5) = 252\]

Таким образом, коэффициент при \(a^5 b^5\) в разложении бинома \((a+b)^{10}\) равен 252.