Чему равен косинус острого угла A в треугольнике ABC, если синус этого угла равен 36/39?

Zolotoy_Orel

20

Чтобы найти значение косинуса острого угла \(A\) в треугольнике \(ABC\), если синус этого угла равен \(\frac{36}{39}\), мы можем использовать тригонометрическую теорему Пифагора.

Для начала, давайте вспомним основные тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\), противоположным катетом \(a\) и прилежащим катетом \(b\), мы имеем следующие соотношения:

\[\sin(\theta) = \frac{a}{c}\]
\[\cos(\theta) = \frac{b}{c}\]
\[\tan(\theta) = \frac{a}{b}\]

В этой задаче мы знаем, что \(\sin(A) = \frac{36}{39}\). Мы хотим найти значение \(\cos(A)\). Чтобы найти его, нам нужно использовать соотношение между синусом и косинусом угла, такое как теорему Пифагора.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\), сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
Это может быть записано как:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

В нашем случае, пусть \(a = 36\) и \(c = 39\) (поскольку они соответствуют синусу и гипотенузе угла \(A\)). Мы можем использовать эту теорему, чтобы найти значение противоположного катета \(b\), который является прилежащим катетом угла \(A\).

\[(36)^2 + b^2 = (39)^2\]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[b^2 = (39)^2 - (36)^2\]
\[b^2 = 1521 - 1296\]
\[b^2 = 225\]
\[b = 15\]

Теперь мы знаем, что прилежащий катет \(b\) равен 15. Теперь мы можем найти косинус угла \(A\) с использованием соотношения \(\cos(A) = \frac{b}{c}\).

\[\cos(A) = \frac{15}{39}\]
\[\cos(A) = \frac{5}{13}\]

Таким образом, косинус острого угла \(A\) в треугольнике \(ABC\) равен \(\frac{5}{13}\).

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи.