Чему равен косинус угла A в треугольнике с вершинами A (0; –3), B (3; 1), C (–6

Лариса

38

Для решения данной задачи, вам потребуется использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов. Для начала, нам необходимо найти длины сторон треугольника.

Для нахождения длин сторон треугольника, воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]
\[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\]
\[AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\]

Подставив координаты точек A (0; –3), B (3; 1) и C (–6; 0) в эти формулы, получим:

\[AB = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]
\[BC = \sqrt{((-6) - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-1)^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}\]
\[AC = \sqrt{((-6) - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]

Теперь, используя найденные длины сторон треугольника, мы можем применить теорему косинусов. Данная теорема имеет вид:

\[\cos A = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC}\]

Подставив найденные значения в формулу, получим:

\[\cos A = \frac{(\sqrt{82})^2 + (3\sqrt{5})^2 - 5^2}{2 \cdot \sqrt{82} \cdot 3\sqrt{5}} = \frac{82 + 45 - 25}{6\sqrt{5}\sqrt{82}} = \frac{102}{6\sqrt{5}\sqrt{82}}\]

Сократив числитель и упростив знаменатель, получаем:

\[\cos A = \frac{17}{\sqrt{246}}\]

Для окончательного ответа приводим его к наименьшему иррациональному знаменателю:

\[\cos A = \frac{17}{\sqrt{246}} \cdot \frac{\sqrt{246}}{\sqrt{246}} = \frac{17\sqrt{246}}{246}\]

Таким образом, косинус угла A в треугольнике с вершинами A (0; –3), B (3; 1), C (–6; 0) равен \(\frac{17\sqrt{246}}{246}\).