Чему равен объем части конуса, которая примыкает к его основанию, если известно, что проведена плоскость через точку

Мурзик

8

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать геометрические свойства конуса.

Пусть \(V\) обозначает объем конуса, \(V_1\) - объем части конуса, примыкающей к его основанию, и \(V_2\) - объем оставшейся части конуса после разделения.

Для начала, определим соотношение объемов \(V_1\) и \(V_2\). Поскольку объем конуса делится плоскостью, параллельной основанию, мы можем применить пропорцию объемов между двумя секциями конуса:

\[\frac{{V_1}}{{V_2}} = \frac{{h_1}}{{h_2}} = \left(\frac{{1}}{{2}}\right)^3 = \frac{{1}}{{8}}\]

где \(h_1\) и \(h_2\) - высоты соответствующих секций конуса.

Теперь, чтобы найти объем части конуса, примыкающей к его основанию, нам нужно выразить \(V_1\) через общий объем \(V\).

Мы можем использовать следующее соотношение между объемами конусов с одинаковыми формами:

\[\frac{{V_1}}{{V}} = \left(\frac{{h_1}}{{h}}\right)^3\]

где \(h\) - полная высота конуса до плоскости разделения.

Используя ранее полученное соотношение \(\frac{{V_1}}{{V_2}} = \frac{{1}}{{8}}\) и объединяя два уравнения, получим:

\[\frac{{V_1}}{{V}} = \left(\frac{{1}}{{8}}\right)^\frac{{1}}{{3}}\]

Теперь мы можем найти объем части конуса, примыкающей к его основанию:

\[V_1 = V \cdot \left(\frac{{1}}{{8}}\right)^\frac{{1}}{{3}}\]

Итак, объем части конуса, примыкающей к его основанию, равен \(V \cdot \left(\frac{{1}}{{8}}\right)^\frac{{1}}{{3}}\).

Мы можем решить эту задачу даже без значения общего объема \(V\). Мы просто используем формулу связи между объемами и соотношением между высотами секций. Если бы нам было дано значение для \(V\), мы могли бы найти конкретную численную величину объема части конуса, примыкающей к его основанию.