Какова вероятность того, что 3 человека, зашедшие на первом этаже в 20-этажном доме, выйдут на разных этажах? Какова

Cyplenok

33

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать комбинаторику и знания о том, как определить вероятность наступления событий. Давайте посмотрим на каждый вопрос по отдельности.

1. Какова вероятность того, что 3 человека, зашедшие на первом этаже в 20-этажном доме, выйдут на разных этажах?

Для этого нам нужно определить общее количество исходов и количество благоприятных исходов.

Общее количество исходов можно выразить как количество способов, которыми 3 человека могут выбрать этаж для выхода на каждом из 20 этажей. Учитывая, что каждый человек может выбрать любой из 20 этажей, общее количество исходов будет равно \(20^3\).

Теперь давайте определим количество благоприятных исходов. Поскольку нам нужно, чтобы каждый человек выбрал разные этажи, мы можем выбрать первому человеку любой из 20 этажей, второму - любой из 19 оставшихся, а третьему - любой из 18 оставшихся. Количество благоприятных исходов будет равно \(20 \cdot 19 \cdot 18\).

Теперь мы можем определить вероятность наступления этого события. Вероятность будет равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

\[
P(\text{{три человека выйдут на разных этажах}}) = \frac{{20 \cdot 19 \cdot 18}}{{20^3}}
\]

2. Какова вероятность того, что двое из трех выйдут на одном этаже?

Для этого вопроса мы опять должны определить общее количество исходов и количество благоприятных исходов.

Общее количество исходов остается таким же, как и в предыдущем вопросе, равным \(20^3\).

Теперь нам нужно определить количество благоприятных исходов. Для этого ситуации мы можем разделить на 3 случая:
- Первые два человека выходят на одном этаже, а третий - на другом.
- Первый и третий человеки выходят на одном этаже, а второй - на другом.
- Второй и третий человеки выходят на одном этаже, а первый - на другом.

Для первого случая первые два человека могут выбрать любой из 20 этажей, а третий - любой из 19 оставшихся. Количество благоприятных исходов для первого случая будет равно \(20 \cdot 19 \cdot 18\).

Точно так же для второго случая и третьего случая количество благоприятных исходов будет равно \(20 \cdot 19 \cdot 18\).

Теперь мы можем определить вероятность наступления этого события, складывая количество благоприятных исходов для каждого случая и деля на общее количество исходов:

\[
P(\text{{двое из трех выйдут на одном этаже}}) = \frac{{(20 \cdot 19 \cdot 18) + (20 \cdot 19 \cdot 18) + (20 \cdot 19 \cdot 18)}}{{20^3}}
\]

3. Какова вероятность того, что все трое выйдут на одном этаже?

Для этого вопроса также нужно определить общее количество исходов и количество благоприятных исходов.

Общее количество исходов остается равным \(20^3\).

Теперь мы должны определить количество благоприятных исходов, когда все трое выходят на одном этаже. Если они выходят на одном этаже, то есть только 20 возможных вариантов этажей, на которых они могут выйти. Таким образом, количество благоприятных исходов будет равно 20.

Теперь мы можем определить вероятность наступления этого события:

\[
P(\text{{все трое выйдут на одном этаже}}) = \frac{{20}}{{20^3}}
\]

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам понять, как решить задачу о вероятности возникновения различных событий при выходе трех человек на разные этажи, на один этаж или на один и тот же этаж.