Чему равен объем данной пирамиды, если ее высота равна 9, а боковые грани наклонены к плоскости под углом 45 градусов?

Aleksandr

12

Для вычисления объема пирамиды с высотой \(h\) и наклоненными боковыми гранями нужно знать формулу объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h, \]

где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

Таким образом, нам нужно найти площадь основания пирамиды. Для этого обратимся к геометрии пирамиды с наклонными боковыми гранями. Если боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45 градусов, то каждая боковая грань разбивается на две части: вертикальную \(a\) и горизонтальную \(b\). Так как угол наклона каждой боковой грани равен 45 градусов, то \( \tan 45^\circ = \frac{a}{b} = 1 \). Следовательно, \( a = b \).

Теперь вспомним формулу площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \). Заметим, что у нас прямоугольный треугольник, в котором катеты равны \(a\), \(b\), а гипотенуза равна \( S_{\text{осн}} \) (площади основания пирамиды).

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника мы знаем, что \( S_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2} \), но так как у нас в данном случае \( a = b \), то \( S_{\text{осн}} = a\sqrt{2} \).

Теперь, подставив все значения в формулу объема пирамиды, мы получим:

\[ V = \frac{1}{3} \times (a\sqrt{2}) \times h = \frac{a \cdot h \cdot \sqrt{2}}{3}. \]

Итак, объем данной пирамиды равен \( \frac{a \cdot h \cdot \sqrt{2}}{3} \).