Вариант 1 1) На основе диаграммы, где МВ и МD представляют собой наклонные прямые к плоскости альфа, а МС является

Иван

29

Добро пожаловать! Давайте решим задачи по очереди.

1) В данной задаче нам дана диаграмма, где $MV$ и $MD$ являются наклонными прямыми к плоскости $\alpha$, а $MC$ является перпендикуляром. Нам нужно указать правильные неравенства. Давайте разберемся с каждым пунктом:

а) Неравенство для $BC$: На диаграмме видно, что отрезки $BC$ и $MD$ пересекаются в точке $C$. Согласно свойству, которое гласит, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую, и точка пересечения лежит между параллельными прямыми, мы можем сделать следующее утверждение: $BC>MD$. Таким образом, правильное неравенство для $BC$ будет $BC>MD$.

б) Неравенство для $MC>MD$: Так как отрезок $MC$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, а отрезок $MD$ является наклонной прямой к той же плоскости, то $MC$ будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника $\mathrm{△}MCD$. Исходя из этого, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника $\mathrm{△}MCD$, чтобы получить следующее равенство:

$$M{C}^2=M{D}^2+C{D}^2$$

В данном случае $CD$ является катетом треугольника и является отрезком $BC$, так как прямой $MB$ является наклонной прямой к плоскости $\alpha$. Заменяя $CD$ на $BC$, мы получаем:

$$M{C}^2=M{D}^2+B{C}^2$$

Исходя из этого равенства, мы можем утверждать, что $MC$ будет больше, чем $MD$, так как квадрат длины гипотенузы всегда больше, чем сумма квадратов длин катетов. Таким образом, правильное неравенство для $MC$ и $MD$ будет $MC>MD$.

в) Неравенство для $MC>MB$: Отрезок $BC$ является катетом прямоугольного треугольника $\mathrm{△}MBC$, где $MB$ является гипотенузой. Аналогично предыдущему пункту, мы можем использовать теорему Пифагора для получения следующего равенства:

$$M{B}^2=M{C}^2+B{C}^2$$

Снова, мы заменяем $BC$ на $CD$ и получаем:

$$M{B}^2=M{C}^2+C{D}^2$$

В данном случае, $CD$ является катетом, а $MB$ - гипотенузой, следовательно, $MC$ является вторым катетом треугольника. Так как квадрат гипотенузы всегда больше, чем сумма квадратов катетов, мы можем утверждать, что $MB$ будет больше, чем $MC$, то есть, правильное неравенство для $MC$ и $MB$ будет $MC<MB$.

г) Неравенство для $MB$: Отрезок $MB$ является главной диагональю треугольника $\mathrm{△}MBC$. Как мы уже знаем, $MC$ является катетом этого треугольника. По теореме Пифагора, мы можем записать:

$$M{B}^2=M{C}^2+B{C}^2$$

Так как квадрат длины диагонали всегда больше, чем сумма квадратов длин остальных двух сторон, мы можем утверждать, что $MB$ будет больше, чем сумма $MC$ и $BC$. Следовательно, правильное неравенство для $MB$ будет $MB>MC+BC$.

Таким образом, правильные неравенства для данной диаграммы будут:

а) $BC<MC$
б) $MC>MD$
в) $MB>MC$
г) $MB>MC+BC$

2) Здесь нам даны размеры прямоугольного параллелепипеда и его диагональ, и нам нужно найти третье измерение параллелепипеда. Давайте решим эту задачу:

Пусть третье измерение параллелепипеда будет обозначено как $h$. Тогда по теореме Пифагора, мы имеем:

$$h^2={17}^2-9^2-{12}^2$$

Вычисляя правую часть этого равенства, мы получаем:

$$h^2=289-81-144=64$$

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем:

$$h=\sqrt{64}=8$$

Таким образом, третье измерение параллелепипеда равно 8 см.

3) В данной задаче нам дан прямоугольник $ABCD$ с указанными сторонами, и мы должны найти угол между прямой $SA$ и плоскостью прямоугольника $ABCD$. Давайте решим эту задачу:

Поскольку прямая $SO$ является перпендикулярной и имеет длину 7 см, она разделяет прямоугольник $ABCD$ на два треугольника равной высоты. Угол между прямой $SA$ и плоскостью прямоугольника $ABCD$ будет также равным углу между прямой $SA$ и плоскостью одного из треугольников.

Мы можем найти угол между прямой $SA$ и плоскостью прямоугольника, используя тангенс:

$$\tan (\text{угол})=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$

В данной задаче противолежащим катетом будет являться длина прямой $SO$, равная 7 см, а прилежащим катетом будет являться длина стороны прямоугольника, равная 7√3 см. Подставляя значения в формулу, мы получаем:

$$\tan (\text{угол})=\frac{7}{7\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Для определения значения угла нам нужно найти обратный тангенс от этого значения:

$$\text{угол}=\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

Вычисляя это, мы получаем:

$$\text{угол}\approx {30}^{\circ }$$

Таким образом, угол между прямой $SA$ и плоскостью прямоугольника $ABCD$ составляет приблизительно 30 градусов.