Чему равен объем конуса, в который вписана правильная четырехугольная пирамида с основанием, сторона которого равна

Pechenye

16

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства правильной четырехугольной пирамиды. Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является квадратом, а все бока равны между собой.

Пусть a - сторона основания пирамиды, а h - ее высота. Мы знаем, что вписанная в конус пирамида заходит внутрь конуса и соприкасается с его боковой поверхностью.

В нашем случае, сторона основания пирамиды равна 11, а высота пока неизвестна. Чтобы найти объем конуса, в котором вписана эта пирамида, нам необходимо вычислить радиус конуса.

Для этого воспользуемся основной формулой объема конуса:

\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]

где V - объем конуса, r - радиус конуса, h - высота конуса.

Так как наша пирамида является вписанной в конус, она касается боковой поверхности конуса. То есть, высота конуса будет равна высоте пирамиды.

Итак, чтобы найти радиус конуса, нам нужно учитывать, что одна четверть основания пирамиды будет равна половине диаметра основания конуса. Изобразим это на рисунке:

/|\
/ | \
/ | \
/ | \
/____|____\

r/2 r/2

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику, образованному половиной основания конуса, радиусом конуса и высотой пирамиды.

Имеем:
\((r/2)^2 + h^2 = a^2\)

Теперь, когда у нас есть уравнение с r и a, мы можем решить его, чтобы найти значение радиуса конуса r.

Выражаем \(r/2\):
\[r/2 = \sqrt{a^2 - h^2}\]

Теперь выражаем r:
\[r = 2\sqrt{a^2 - h^2}\]

Теперь, чтобы найти объем конуса, заменим значение радиуса и высоты в формуле объема конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi \left(2\sqrt{a^2 - h^2}\right)^2 h\]

\[V = \frac{4}{3} \pi (a^2 - h^2) h\]

Таким образом, объем конуса, в который вписана правильная четырехугольная пирамида с основанием стороной 11 и высотой h, равен \(\frac{4}{3} \pi (11^2 - h^2) h\).