Какова длина меньшего катета и гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из его углов составляет 60°, а больший

Сверкающий_Джинн

17

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть прямоугольный треугольник, и один из его углов равен 60°. Большой катет дан, но нам нужно найти длину меньшего катета и гипотенузы треугольника.

Для начала нам понадобится некоторая тригонометрия. В прямоугольном треугольнике отношение длины катета к длине гипотенузы называется синусом угла, а отношение длины другого катета к длине гипотенузы - косинусом угла.

В данной задаче мы имеем угол 60°, поэтому нам понадобится знать значения синуса и косинуса этого угла.

Значение синуса 60° составляет \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\), а значение косинуса 60° составляет \(\frac{1}{2}\).

Теперь мы можем перейти к решению задачи. Пусть \(a\) - это длина меньшего катета, а \(c\) - длина гипотенузы.

Используя связь между синусом и косинусом угла, мы можем записать соотношения:

\(\sin(60°) = \frac{a}{c}\) и \(\cos(60°) = \frac{b}{c}\), где \(b\) - это длина большего катета.

Подставляя значения синуса и косинуса 60°, мы получаем:

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{a}{c}\) и \(\frac{1}{2} = \frac{b}{c}\).

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Мы можем решить эти уравнения, чтобы найти значения \(a\) и \(c\).

Первое уравнение:

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{a}{c}\).

Домножим обе части уравнения на \(2c\), чтобы избавиться от дроби:

\(\sqrt{3} = \frac{2ac}{c}\).

Упрощая:

\(\sqrt{3} = 2a\).

Теперь разделим обе части на 2:

\(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Мы нашли длину меньшего катета \(a\). Теперь перейдем ко второму уравнению:

\(\frac{1}{2} = \frac{b}{c}\).

Домножим обе части на \(2c\):

\(1 = 2b\).

Разделим обе части на 2:

\(b = \frac{1}{2}\).

Мы нашли длину большего катета \(b\).

Теперь нам остается найти длину гипотенузы \(c\). Мы можем использовать одно из уравнений, чтобы найти это значение.

Из первого уравнения, зная \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем найти \(c\):

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{a}{c}\).

Умножим обе части на \(c\):

\(\frac{{\sqrt{3}}}{2}c = a\).

Разделим обе части на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(c = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}\).

Подставим значение \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(c = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1\).

Мы нашли длину гипотенузы \(c\).

Таким образом, длина меньшего катета \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), а длина гипотенузы \(c = 1\).

Можете задать еще вопросы или попросить пояснить что-то еще.