Чему равен объём отсечённого конуса, если оно проведено сечение , параллельное основанию ,так , что оно делит высоту

Карамель

42

Для решения этой задачи сначала нужно найти высоту \( h_1 \) отсеченного конуса. Затем, используя отношение объемов конусов, мы сможем найти объем отсеченного конуса.

По условию задачи, высота отсеченного конуса делится в пропорции 4:5, считая от вершины.

Давайте обозначим общую высоту первоначального конуса как \( H \). Это означает, что вертикальное расстояние от вершины до основания первоначального конуса равно \( H \).

Тогда высота \( h_1 \) может быть выражена как \( h_1 = \frac{4}{4 + 5} \cdot H = \frac{4}{9} \cdot H \).

Таким образом, мы нашли высоту отсеченного конуса.

Теперь мы можем использовать формулу для объема конуса, чтобы найти объем отсеченного конуса.

Формула для объема конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) - радиус основания, \( h \) - высота конуса.

Поскольку основание остается таким же для первоначального и отсеченного конуса, радиусы основания будут одинаковыми. Поэтому мы можем записать формулу для объема как:

\( V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 \), где \( V_1 \) - объем отсеченного конуса.

Подставляем найденное значение \( h_1 \) в формулу и получаем:

\( V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{4}{9} \cdot H \)

Теперь мы можем использовать информацию, что объем первоначального конуса составляет 729 см³, чтобы найти радиус основания \( r \).

Используем формулу для объема первоначального конуса:

\( V_{\text{первоначального}} = \frac{1}{3} \pi r^2 H = 729 \) см³.

Мы можем решить эту формулу относительно \( r \):

\( r^2 = \frac{729 \cdot 3}{\pi \cdot H} \)

\( r = \sqrt{\frac{729 \cdot 3}{\pi \cdot H}} \)

Подставляем найденное значение радиуса в формулу для объема отсеченного конуса:

\( V_1 = \frac{1}{3} \pi \left(\sqrt{\frac{729 \cdot 3}{\pi \cdot H}}\right)^2 \cdot \frac{4}{9} \cdot H \)

Просто вычисляем эту формулу, используя значение \( H \), равное 729 см³:

\( V_1 = \frac{1}{3} \pi \left(\sqrt{\frac{729 \cdot 3}{\pi \cdot 729}}\right)^2 \cdot \frac{4}{9} \cdot 729 \) см³

\( V_1 = \frac{1}{3} \pi \left(\sqrt{3}\right)^2 \cdot \frac{4}{9} \cdot 729 \) см³

\( V_1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot 729 \) см³

Выполняем вычисления:

\( V_1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 729 \) см³

\( V_1 = \frac{4}{3} \pi \cdot 729 \) см³

\( V_1 = 972 \pi \) см³

Поэтому объем отсеченного конуса равен \( 972 \pi \) кубическим сантиметрам.

Убедитесь, что при указании ответа следует оставить значение объема в терминах символа \( \pi \), так как оно не точно равно какому-либо десятичному числу. Таким образом, окончательный ответ будет \( 972 \pi \) кубических сантиметров.