Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, у которого сторона основания равна 4 см и образует угол

Artur

64

Для решения задачи, давайте рассмотрим сначала геометрические свойства прямоугольного параллелепипеда.

Зная сторону основания \(a\) и угол \(\theta\) между стороной основания и диагональю, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты \(h\) и диагонали основания \(d\).

1. Найдем высоту \(h\) параллелепипеда:
Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса для нахождения \(h\).
В равнобедренном треугольнике с углом \(\theta\) и основанием \(a\), смежным с углом \(\theta\), синус угла \(\theta\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin(\theta) = \frac{h}{d}\]
\[h = d \cdot \sin(\theta)\]

2. Найдем диагональ основания \(d\):
Для нахождения диагонали основания, мы можем использовать теорему Пифагора.
В прямоугольном треугольнике с диагональю основания \(d\), стороной основания \(a\) и высотой \(h\), гипотенуза равна диагонали, а катеты равны стороне и высоте соответственно:

\[d^2 = a^2 + h^2\]
\[d = \sqrt{a^2 + h^2}\]

Теперь, зная высоту \(h\) и диагональ основания \(d\), мы можем найти объем \(V\) прямоугольного параллелепипеда.
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

\[V = a \cdot b \cdot h\]

Теперь давайте применим эти формулы к нашей задаче.

У нас дана сторона основания \(a = 4\) см и угол \(\theta = 30^\circ\) с диагональю основания. Изображение, которое вы предоставили, поможет нам в визуализации задачи.

1. Найдем высоту \(h\) параллелепипеда:
Мы знаем, что \(\theta = 30^\circ\). Можем найти синус угла \(\theta\) с помощью тригонометрической таблицы или калькулятора:

\[\sin(30^\circ) = 0.5\]

Подставим это значение в формулу \(h = d \cdot \sin(\theta)\):
\(h = d \cdot 0.5\)

2. Найдем диагональ основания \(d\):
Используя формулу \(d = \sqrt{a^2 + h^2}\), подставим известные значения:
\(d = \sqrt{4^2 + (4 \cdot 0.5)^2}\)

Выполнив вычисления, получим:
\(d = \sqrt{16 + 4}\)
\(d = \sqrt{20}\)
\(d = 2 \sqrt{5}\)

Теперь у нас есть значения высоты \(h\) и диагонали основания \(d\). Мы можем перейти к вычислению объема.

3. Найдем объем \(V\) параллелепипеда:
Мы знаем, что сторона основания \(a = 4\) см, высота \(h = d \cdot 0.5\) и \(d = 2 \sqrt{5}\) см.
Подставим известные значения в формулу \(V = a \cdot b \cdot h\):

\(V = 4 \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 0.5\)

Выполнив вычисления, получим:
\(V = 16 \sqrt{5}\) кубических сантиметров.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда, у которого сторона основания равна 4 см и образует угол 30° с диагональю основания, равен \(16 \sqrt{5}\) кубических сантиметров.